В треугольнике АВС угол В равен 84°, AВ=23, CB=17. Найти сторону АС. В треугольнике MNK угол N равен 69°12', KN=32, MN = 38. Найти МК. реги с подробным решением

Для решения обеих задач, будем использовать закон косинусов, который применяется для нахождения сторон треугольника, когда известны две стороны и угол между ними. Закон косинусов гласит: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \] где \( c \) — сторона напротив угла \( C \), \( a \) и \( b \) — другие две стороны. ### Задача 1: Треугольник ABC **Дано:** - Угол \( \angle B = 84^\circ \) - Сторона \( AB = 23 \) - Сторона \( CB = 17 \) **Найти:** Сторону \( AC \). **Решение:** 1. Назовем стороны: - \( a = AC \) (что мы и хотим найти) - \( b = AB = 23 \) - \( c = CB = 17 \) - \( C = \angle B = 84^\circ \) 2. Применим закон косинусов: \[ AC^2 = AB^2 + CB^2 - 2 \cdot AB \cdot CB \cdot \cos(B) \] Подставим известные значения: \[ AC^2 = 23^2 + 17^2 - 2 \cdot 23 \cdot 17 \cdot \cos(84^\circ) \] 3. Вычислим квадрат сторон: \[ 23^2 = 529 \quad и \quad 17^2 = 289 \] 4. Сложим: \[ AC^2 = 529 + 289 - 2 \cdot 23 \cdot 17 \cdot \cos(84^\circ) \] 5. Вычислим \( 2 \cdot 23 \cdot 17 \): \[ 23 \cdot 17 = 391 \quad \Rightarrow \quad 2 \cdot 391 = 782 \] 6. Теперь подставим и рассчитуем: \[ AC^2 = 529 + 289 - 782 \cdot \cos(84^\circ) \] Значение \( \cos(84^\circ) \): \[ \cos(84^\circ) \approx 0.0945 \] 7. Посчитаем : \[ 782 \cdot 0.0945 \approx 73.895 \] 8. Теперь окончательное вычисление: \[ AC^2 = 529 + 289 - 73.895 \approx 744.105 \] \[ AC \approx \sqrt{744.105} \approx 27.3 \] Таким образом, сторона \( AC \) равна приблизительно **27.3**. ### Задача 2: Треугольник MNK **Дано:** - Угол \( \angle N = 69^\circ 12' \) - Сторона \( KN = 32 \) - Сторона \( MN = 38 \) **Найти:** Сторону \( MK \). **Решение:** 1. Назовем стороны: - \( a = MK \) (что мы и хотим найти) - \( b = KN = 32 \) - \( c = MN = 38 \) - \( C = \angle N = 69^\circ 12' \) Преобразуем угол в десятичный формат: \[ 69^\circ 12' = 69 + \frac{12}{60} = 69.2^\circ \] 2. Применим закон косинусов: \[ MK^2 = KN^2 + MN^2 - 2 \cdot KN \cdot MN \cdot \cos(N) \] Подставим известные значения: \[ MK^2 = 32^2 + 38^2 - 2 \cdot 32 \cdot 38 \cdot \cos(69.2^\circ) \] 3. Вычислим квадрат сторон: \[ 32^2 = 1024 \quad и \quad 38^2 = 1444 \] 4. Сложим: \[ MK^2 = 1024 + 1444 - 2 \cdot 32 \cdot 38 \cdot \cos(69.2^\circ) \] 5. Вычислим \( 2 \cdot 32 \cdot 38 \): \[ 32 \cdot 38 = 1216 \quad \Rightarrow \quad 2 \cdot 1216 = 2432 \] 6. Теперь подставим и рассчитаем: \[ MK^2 = 1024 + 1444 - 2432 \cdot \cos(69.2^\circ) \] Значение \( \cos(69.2^\circ) \): \[ \cos(69.2^\circ) \approx 0.367 \] 7. Посчитаем : \[ 2432 \cdot 0.367 \approx 893.664 \] 8. Теперь окончательное вычисление: \[ MK^2 = 1024 + 1444 - 893.664 \approx 1574.336 \] \[ MK \approx \sqrt{1574.336} \approx 39.7 \] Таким образом, сторона \( MK \) равна приблизительно **39.7**.