В треугольнике АВС угол В равен 84°, AВ=23, CB=17. Найти сторону АС. В треугольнике MNK угол N равен 69°12', KN=32, MN = 38. Найти МК. реги с подробным решением

Для решения обеих задач, будем использовать закон косинусов, который применяется для нахождения сторон треугольника, когда известны две стороны и угол между ними. Закон косинусов гласит:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

где \( c \) — сторона напротив угла \( C \), \( a \) и \( b \) — другие две стороны.

Задача 1: Треугольник ABC

Дано:

• Угол \( \angle B = 84^\circ \)
• Сторона \( AB = 23 \)
• Сторона \( CB = 17 \)

Найти: Сторону \( AC \).

Решение:

1. Назовем стороны:

   • \( a = AC \) (что мы и хотим найти)
   • \( b = AB = 23 \)
   • \( c = CB = 17 \)
   • \( C = \angle B = 84^\circ \)

2. Применим закон косинусов: \[ AC^2 = AB^2 + CB^2 - 2 \cdot AB \cdot CB \cdot \cos(B) \]

   Подставим известные значения: \[ AC^2 = 23^2 + 17^2 - 2 \cdot 23 \cdot 17 \cdot \cos(84^\circ) \]

3. Вычислим квадрат сторон: \[ 23^2 = 529 \quad и \quad 17^2 = 289 \]

4. Сложим: \[ AC^2 = 529 + 289 - 2 \cdot 23 \cdot 17 \cdot \cos(84^\circ) \]

5. Вычислим \( 2 \cdot 23 \cdot 17 \): \[ 23 \cdot 17 = 391 \quad \Rightarrow \quad 2 \cdot 391 = 782 \]

6. Теперь подставим и рассчитуем: \[ AC^2 = 529 + 289 - 782 \cdot \cos(84^\circ) \]

   Значение \( \cos(84^\circ) \): \[ \cos(84^\circ) \approx 0.0945 \]

7. Посчитаем : \[ 782 \cdot 0.0945 \approx 73.895 \]

8. Теперь окончательное вычисление: \[ AC^2 = 529 + 289 - 73.895 \approx 744.105 \] \[ AC \approx \sqrt{744.105} \approx 27.3 \]

Таким образом, сторона \( AC \) равна приблизительно 27.3.

Задача 2: Треугольник MNK

Дано:

• Угол \( \angle N = 69^\circ 12' \)
• Сторона \( KN = 32 \)
• Сторона \( MN = 38 \)

Найти: Сторону \( MK \).

Решение:

1. Назовем стороны:

   • \( a = MK \) (что мы и хотим найти)
   • \( b = KN = 32 \)
   • \( c = MN = 38 \)
   • \( C = \angle N = 69^\circ 12' \)

   Преобразуем угол в десятичный формат: \[ 69^\circ 12' = 69 + \frac{12}{60} = 69.2^\circ \]

2. Применим закон косинусов: \[ MK^2 = KN^2 + MN^2 - 2 \cdot KN \cdot MN \cdot \cos(N) \]

   Подставим известные значения: \[ MK^2 = 32^2 + 38^2 - 2 \cdot 32 \cdot 38 \cdot \cos(69.2^\circ) \]

3. Вычислим квадрат сторон: \[ 32^2 = 1024 \quad и \quad 38^2 = 1444 \]

4. Сложим: \[ MK^2 = 1024 + 1444 - 2 \cdot 32 \cdot 38 \cdot \cos(69.2^\circ) \]

5. Вычислим \( 2 \cdot 32 \cdot 38 \): \[ 32 \cdot 38 = 1216 \quad \Rightarrow \quad 2 \cdot 1216 = 2432 \]

6. Теперь подставим и рассчитаем: \[ MK^2 = 1024 + 1444 - 2432 \cdot \cos(69.2^\circ) \]

   Значение \( \cos(69.2^\circ) \): \[ \cos(69.2^\circ) \approx 0.367 \]

7. Посчитаем : \[ 2432 \cdot 0.367 \approx 893.664 \]

8. Теперь окончательное вычисление: \[ MK^2 = 1024 + 1444 - 893.664 \approx 1574.336 \] \[ MK \approx \sqrt{1574.336} \approx 39.7 \]

Таким образом, сторона \( MK \) равна приблизительно 39.7.