Давайте разберем задачу по шагам.
Задача:
Имеем две системы уравнений, и нужно подобрать значение для ( k ) так, чтобы система имела либо единственное решение, либо не имела решений или имела бесконечное множество решений.
Система 1:
[
\begin{cases}
2y = 3x - 2 \tag{1} \
y = 1.5x + k \tag{2}
\end{cases}
]
Преобразование уравнений:
- Преобразуем уравнение (1) в стандартный вид:
[
y = \frac{3}{2}x - 1
]
Теперь имеем такую систему:
[
\begin{cases}
y = \frac{3}{2}x - 1 \
y = 1.5x + k
\end{cases}
]
Найдем точки пересечения:
Чтобы система имела единственное решение, графики уравнений должны пересекаться в одной точке, это значит, что угловые коэффициенты должны быть разные, то есть:
[
\frac{3}{2} \neq 1.5 \quad \text{(неверно, значит, наклон одинаковый)}
]
Следовательно, для этой системы:
- Если ( k = -1 ), то это два одинаковых уравнения, что даст бесконечное множество решений.
- Если ( k \neq -1 ), то системы имеют единственное решение, так как они параллельны.
Следовательно:
- ( k \neq -1 ) - системе имеет единственное решение.
- ( k = -1 ) - не имеет решений (две параллельные прямые).
Система 2:
[
\begin{cases}
kx + 2y = 1 \tag{3} \
6x + 4y = 2 \tag{4}
\end{cases}
]
Приведем второе уравнение (4) к стандартному виду:
[
2y = 2 - 6x \quad \Rightarrow \quad y = 1 - 3x
]
Теперь имеем систему:
[
\begin{cases}
kx + 2y = 1 \
y = 1 - 3x
\end{cases}
]
Найдем точки пересечения:
Теперь подставим ( y = 1 - 3x ) в уравнение (3):
[
kx + 2(1 - 3x) = 1
]
Раскроем скобки:
[
kx + 2 - 6x = 1 \quad \Rightarrow \quad (k - 6)x = -1
]
- Если ( k \neq 6 ), система имеет единственное решение (поскольку ( x = \frac{-1}{k - 6} )).
- Если ( k = 6 ), ( (6-6)x = -1 ), что приводит к противоречию, значит система не имеет решений.
- Если ( k = 0 ), то ( 0x + 2y = 1 ) и ( y = 1) дает 2 уравнения, также ведет к бесконечным решениям.
Следовательно:
- ( k = 6 ) - не имеет решений.
- ( k = 0 ) - бесконечное множество решений.
- Для ( k \neq 0 ) и ( k \neq 6 ) - будет единственное решение.
Резюме:
Для первой системы:
- ( k \neq -1 ) (одинаковый наклон) имеем одну общую точку; ( k = -1) - бесконечное множество.
Для второй системы:
- ( k \neq 6) (единственное решение) и ( k = 0 ) - бесконечное множество решений; ( k = 6) - не имеет решений.
Таким образом, в зависимости от желаемого результата, вы можете выбрать значение параметра ( k ).
