крупном отделе компании 4 человека получают зарплату 80 тыс.р. в месяц, 11 человек получают 100 тыс. р., 7 человек получают по 120 тыс. р, и 3 человека – по 150 тыс. р. Перед Новым Годом совет директоров компании выделил на премирование сотрудников отдела 180 тыс. р. Эта сумма будет добавлена к декабрьской зарплате. Начальник отдела хочет распределить премии так, чтобы медиана общих выплат сотрудникам в декабре оказалась наибольшей возможной (это важный показатель работы начальника). Найдите эту наибольшую возможную медианную выплату. Ответ дайте в тысячах рублей.
Чтобы найти наибольшую возможную медианную выплату сотрудникам, сначала рассчитаем общую зарплату сотрудников без премии и затем подумаем, как распределить премии так, чтобы медиана оказалась максимальной.
### Шаг 1: Определим зарплаты сотрудников
1. **Сотрудники**:
- 4 человека получают по 80 тыс. рублей.
- 11 человек получают по 100 тыс. рублей.
- 7 человек получают по 120 тыс. рублей.
- 3 человека получают по 150 тыс. рублей.
2. **Общее количество сотрудников**:
\[
4 + 11 + 7 + 3 = 25
\]
3. **Зафиксируем зарплаты каждого**:
- 4 человека – 80 тыс. ₽
- 11 человек – 100 тыс. ₽
- 7 человек – 120 тыс. ₽
- 3 человека – 150 тыс. ₽
### Шаг 2: Определим общую сумму зарплат
- Общая сумма без премии:
\[
4 \times 80 + 11 \times 100 + 7 \times 120 + 3 \times 150 = 320 + 1100 + 840 + 450 = 2710\, \text{тыс. рублей.}
\]
### Шаг 3: Распределение премий
- У нас есть на премии 180 тыс. рублей. Медиана определяется по распределению выплат, поэтому нам нужно рассмотреть, как распределить премии, чтобы медиана максимизировалась.
- **Премии лучше раздать наибольшим зарплатам**, чтобы повысить медиану последних сотрудников, а также чтобы большинство сотрудников стало "ближе" к той группе, которая получит бонусы.
### Шаг 4: Медиана
Для нахождения медианы, необходимо упорядочить выплаты по возрастанию и найти среднее значение двух средних элементов (так как количество сотрудников 25 — нечетное):
1. Сортируем сотрудников по зарплатам:
- 4 человека – 80 тыс. ₽
- 11 человек – 100 тыс. ₽
- 7 человек – 120 тыс. ₽
- 3 человека – 150 тыс. ₽
Теперь, если мы добавим премии.
### Шаг 5: Распределение премий
Рассмотрим идеальный вариант, когда распределим 180 тыс. на группу, получающую 150 тыс. рублей (всего 3 человека):
- Премия на каждого будет:
\[
\frac{180}{3} = 60 \text{ тыс. рублей}
\]
Теперь их зарплата будет:
- 150 + 60 = 210 тыс. рублей для 3 сотрудников.
Обновлённые зарплаты:
1. 4 человека по 80 тыс. ₽
2. 11 человек по 100 тыс. ₽
3. 7 человек по 120 тыс. ₽
4. 3 человека по 210 тыс. ₽
### Шаг 6: Расчет медианы
У нас:
- 4 человека – 80 тыс. ₽
- 11 человек – 100 тыс. ₽
- 7 человек – 120 тыс. ₽
- 3 человека – 210 тыс. ₽
В упорядоченном виде:
- 80, 80, 80, 80 (4)
- 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100 (11)
- 120, 120, 120, 120, 120, 120, 120 (7)
- 210, 210, 210 (3)
Расположение:
- 4 + 11 = 15 (первые 15 человек)
- Следующие 7 – 120
- Следующие 3 – 210
Таким образом, 13-я и 14-я вакансия:
- 13: 120 тыс. ₽
- 14: 120 тыс. ₽
**Медиана = (120 + 120)/2 = 120 тыс. рублей.**
### Ответ
Таким образом, наибольшая возможная медианная выплата в декабре составит 120 тыс. рублей.
