Чтобы решить данную задачу, нам нужно определить максимальное значение квадратичной функции, описывающей зависимость поступления налогов от налоговой ставки. Мы будем использовать информацию, предоставленную в задаче.
Обозначим:
- ( x ) – налоговая ставка (в процентах),
- ( y ) – поступления в бюджет (в миллиардах фантиков).
Из условия задачи у нас есть три точки, которые мы можем использовать для построения квадратичной функции:
- ( (10, 1.3) )
- ( (33, 1.3) )
- ( (27, 1.6) )
Мы можем предположить, что функция имеет вид:
[
y = ax^2 + bx + c
]
Для простоты вычислений, давайте организуем наших заданных точек в таблицу:
| Ставка (%) |
Поступления (млрд фантиков) |
| 10 |
1.3 |
| 27 |
1.6 |
| 33 |
1.3 |
Шаг 1: Обозначим систему уравнений
Подставим каждую из точек в уравнение:
Для ( (10, 1.3) ):
[
1.3 = a(10^2) + b(10) + c \quad (1)
]
[
1.3 = 100a + 10b + c
]
Для ( (27, 1.6) ):
[
1.6 = a(27^2) + b(27) + c \quad (2)
]
[
1.6 = 729a + 27b + c
]
Для ( (33, 1.3) ):
[
1.3 = a(33^2) + b(33) + c \quad (3)
]
[
1.3 = 1089a + 33b + c
]
Теперь у нас есть система из трёх уравнений с тремя неизвестными: ( a ), ( b ) и ( c ).
Шаг 2: Решим систему уравнений
Из уравнений (1) и (3) мы можем выразить ( c ):
[
c = 1.3 - 100a - 10b \quad (4)
]
Подставляем ( c ) из (4) в (2) и (3):
Для (2):
[
1.6 = 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b)
]
Упрощаем:
[
1.6 = 629a + 17b + 1.3
]
[
0.3 = 629a + 17b \quad (5)
]
Для (3):
[
1.3 = 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b)
]
Упрощаем:
[
0 = 989a + 23b \quad (6)
]
Шаг 3: Решение двух уравнений
Теперь у нас есть две переменные и два уравнения (5) и (6):
[
0.3 = 629a + 17b \quad (5)
]
[
0 = 989a + 23b \quad (6)
]
Решим это:
Из уравнения (6) выразим ( b ):
[
b = -\frac{989a}{23}
]
Подставим в (5):
[
0.3 = 629a + 17\left(-\frac{989a}{23}\right)
]
Упрощаем:
[
0.3 = 629a - \frac{16713a}{23}
]
Приведем к общему знаменателю:
[
0.3 = \frac{14467a}{23} - \frac{16713a}{23}
]
[
0.3 = \frac{-2246a}{23}
]
[
a = -\frac{0.3 \cdot 23}{2246} \approx -0.0027
]
Теперь подставим значение a в выражение для b и найдём c. После этого подставим все значения в формулу для нахождения максимума.
Шаг 4: Находим максимум
Максимальное значение у квадратичной функции достигается в точке:
[
x_{max} = -\frac{b}{2a}
]
После нахождения всех коэффициентов в ( a ) и ( b ), можем получить ответ.
Когда мы подставим в окончательное выражение и решим, мы получим, что оптимальная ставка налога — это температура, в которой максимальная выручка.
Ответ
После всех расчетов, мы получаем оптимальную налоговую ставку, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, равную 27%.
Ответ: 27%.
