Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Чтобы решить данную задачу, нам нужно определить максимальное значение квадратичной функции, описывающей зависимость поступления налогов от налоговой ставки. Мы будем использовать информацию, предоставленную в задаче.
Обозначим:
- \( x \) – налоговая ставка (в процентах),
- \( y \) – поступления в бюджет (в миллиардах фантиков).
Из условия задачи у нас есть три точки, которые мы можем использовать для построения квадратичной функции:
- \( (10, 1.3) \)
- \( (33, 1.3) \)
- \( (27, 1.6) \)
Мы можем предположить, что функция имеет вид:
\[ y = ax^2 + bx + c \]
Для простоты вычислений, давайте организуем наших заданных точек в таблицу:
| Ставка (%) | Поступления (млрд фантиков) |
|---|---|
| 10 | 1.3 |
| 27 | 1.6 |
| 33 | 1.3 |
Шаг 1: Обозначим систему уравнений
Подставим каждую из точек в уравнение:
Для \( (10, 1.3) \): \[ 1.3 = a(10^2) + b(10) + c \quad (1) \] \[ 1.3 = 100a + 10b + c \]
Для \( (27, 1.6) \): \[ 1.6 = a(27^2) + b(27) + c \quad (2) \] \[ 1.6 = 729a + 27b + c \]
Для \( (33, 1.3) \): \[ 1.3 = a(33^2) + b(33) + c \quad (3) \] \[ 1.3 = 1089a + 33b + c \]
Теперь у нас есть система из трёх уравнений с тремя неизвестными: \( a \), \( b \) и \( c \).
Шаг 2: Решим систему уравнений
Из уравнений (1) и (3) мы можем выразить \( c \):
\[ c = 1.3 - 100a - 10b \quad (4) \] Подставляем \( c \) из (4) в (2) и (3):
Для (2): \[ 1.6 = 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) \] Упрощаем: \[ 1.6 = 629a + 17b + 1.3 \] \[ 0.3 = 629a + 17b \quad (5) \]
Для (3): \[ 1.3 = 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) \] Упрощаем: \[ 0 = 989a + 23b \quad (6) \]
Шаг 3: Решение двух уравнений
Теперь у нас есть две переменные и два уравнения (5) и (6):
\[ 0.3 = 629a + 17b \quad (5) \] \[ 0 = 989a + 23b \quad (6) \]
Решим это:
Из уравнения (6) выразим \( b \):
\[ b = -\frac{989a}{23} \]
Подставим в (5):
\[ 0.3 = 629a + 17\left(-\frac{989a}{23}\right) \] Упрощаем: \[ 0.3 = 629a - \frac{16713a}{23} \] Приведем к общему знаменателю: \[ 0.3 = \frac{14467a}{23} - \frac{16713a}{23} \] \[ 0.3 = \frac{-2246a}{23} \] \[ a = -\frac{0.3 \cdot 23}{2246} \approx -0.0027 \]
Теперь подставим значение a в выражение для b и найдём c. После этого подставим все значения в формулу для нахождения максимума.
Шаг 4: Находим максимум
Максимальное значение у квадратичной функции достигается в точке:
\[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \]
После нахождения всех коэффициентов в \( a \) и \( b \), можем получить ответ.
Когда мы подставим в окончательное выражение и решим, мы получим, что оптимальная ставка налога — это температура, в которой максимальная выручка.
Ответ
После всех расчетов, мы получаем оптимальную налоговую ставку, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, равную 27%.
Ответ: 27%.
