Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: f(x) = 3x ^ 2 + x y = 0 x_{1} = - 2 x_{2} = 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданной параболой \( f(x) = 3x^2 + x \), осью абсцисс \( y = 0 \) и вертикальными линиями \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 2 \), следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найти точки пересечения с осью абсцисс

Сначала найдем, где парабола пересекает ось абсцисс, то есть решим уравнение: \[ f(x) = 0 \] или \[ 3x^2 + x = 0 \]

Факторизуем это уравнение: \[ x(3x + 1) = 0 \]

Отсюда получаем два корня:

1. \( x = 0 \)
2. \( 3x + 1 = 0 \) => \( x = -\frac{1}{3} \)

Шаг 2: Определить интервалы для интегрирования

Поскольку мы исследуем область между \( x = -2 \) и \( x = 2 \), и оба значения находятся выше нуля на отрезке \( x \in [-2, -\frac{1}{3}] \) и \( x \in [0, 2] \), мы можем найти площадь под графиком только в пределах этих двух интервалов.

Шаг 3: Вычислить площадь

Площадь под графиком между \( x_1 \) и \( x_2 \) можно найти с помощью определенного интеграла: \[ S = \int_{-2}^{2} f(x) \, dx \]

Однако, так как функция пересекает ось абсцисс, нам нужно будет вычислить площадь отдельно на интервалах \([-2, -\frac{1}{3}]\) и \([- \frac{1}{3}, 2]\).

Интеграл на интервале \([-2, -\frac{1}{3}]\):

\[ S_1 = -\int_{-2}^{-\frac{1}{3}} (3x^2 + x) \, dx \]

Интеграл на интервале \([- \frac{1}{3}, 2]\):

\[ S_2 = \int_{-\frac{1}{3}}^{2} (3x^2 + x) \, dx \]

Шаг 4: Вычислить интегралы

Для \( S_1 \): \[ S_1 = -\left[ \frac{3x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{-\frac{1}{3}} = -\left[ x^3 + \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{-\frac{1}{3}} \]

Вычисляем:

1. При \( x = -\frac{1}{3} \): \[ \left(-\frac{1}{3}\right)^3 + \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = -\frac{1}{27} + \frac{1}{18} = -\frac{1}{27} + \frac{3}{54} = \frac{2}{54} = \frac{1}{27} \]
2. При \( x = -2 \): \[ (-2)^3 + \frac{1}{2}(-2)^2 = -8 + 2 = -6 \]

Итого: \[ S_1 = -\left( \frac{1}{27} - (-6) \right) = -\left( \frac{1}{27} + 6\right) = 6 + \frac{1}{27} = \frac{162 + 1}{27} = \frac{163}{27} \]

Для \( S_2 \): \[ S_2 = \left[ \frac{3x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{-\frac{1}{3}}^{2} \]

Вычисляем:

1. При \( x = 2 \): \[ 2^3 + \frac{2^2}{2} = 8 + 2 = 10 \]
2. При \( x = -\frac{1}{3} \): \[ -\frac{1}{27} + \frac{1}{18} = \frac{2}{54} = \frac{1}{27} \]

Итого: \[ S_2 = 10 - \frac{1}{27} = \frac{270 - 1}{27} = \frac{269}{27} \]

Шаг 5: Общая площадь

Теперь считаем общую площадь: \[ S = S_1 + S_2 = \frac{163}{27} + \frac{269}{27} = \frac{432}{27} = 16 \]

Ответ

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна \( 16 \) квадратных единиц.