Рубин представляет собой кристалл корунда и имеет простейшую формулу Al2O3, в котором некоторое количество атомов алюминия замещено на атомы хрома. Определите массу оксида хрома (III) (в мг), которую необходимо сплавить с образцом корунда массой 18 карат для получения искусственного рубина. В полученном кристалле количество атомов алюминия должно относиться к количеству атомов хрома как 97 к 3. Масса 1 карата составляет 0,2 г. В ответе укажите число с точностью до целых.
В ответ запишите ТОЛЬКО число.
Для решения задачи начнем с анализа условий.
1. **Сначала найдем массу корунда.**
- Исходная масса корунда: 18 карат.
- Масса 1 карата: 0,2 г.
\[
\text{Масса корунда} = 18 \, \text{карат} \times 0,2 \, \text{г/карат} = 3,6 \, \text{г}
\]
2. **Теперь найдем общее количество атомов алюминия и хрома в искусственном рубине.**
- Пусть количество атомов хрома = \( x \).
- Тогда количество атомов алюминия = \( \frac{97}{3} x \), так как их отношение 97:3.
- Общее количество атомов = \( 97x/3 + x = \frac{100x}{3} \).
3. **Теперь выразим число атомов в массе.**
- Молярная масса Al = 27 г/моль.
- Молярная масса Cr = 52 г/моль.
- Молярная масса O = 16 г/моль.
- Общая молярная масса Al2O3 = \( 2 \times 27 + 3 \times 16 = 54 + 48 = 102 \, \text{г/моль} \).
- Молярная масса Cr2O3 = \( 2 \times 52 + 3 \times 16 = 104 + 48 = 152 \, \text{г/моль} \).
4. **Количество моль в корунде (Al2O3):**
\[
n_{\text{Al2O3}} = \frac{3,6 \, \text{г}}{102 \, \text{г/моль}} \approx 0,03529 \, \text{моль}
\]
5. **Теперь определим количество атомов алюминия и хрома.**
- В 1 моль Al2O3 содержится 2 моль Al. Следовательно:
\[
n_{\text{Al}} = 2 \times n_{\text{Al2O3}} \approx 2 \times 0,03529 \approx 0,07058 \, \text{моль}
\]
- Количество моль хрома, позволяющее следовать отношению 97:3:
\[
n_{\text{Cr}} = \frac{0,07058 \, \text{моль}}{97} \times 3 \approx 0,00218 \, \text{моль}
\]
6. **Теперь найдем массу Cr2O3.**
\[
m_{\text{Cr2O3}} = n_{\text{Cr}} \times M_{\text{Cr2O3}} = 0,00218 \times 152 \approx 0,33136 \, \text{г}
\]
Переведем в миллиграммы:
\[
m_{\text{Cr2O3}} \approx 331,36 \, \text{мг}
\]
7. **Округлим до целых:**
\[
m_{\text{Cr2O3}} \approx 331 \, \text{мг}
\]
**Ответ:**
331
