найдите sin a и tg a, если cos a= 1/2

Давайте решим задачу, в которой нам нужно найти значения \( \sin a \) и \( \tan a \), если дано значение \( \cos a = \frac{1}{2} \).

Шаг 1: Определяем угол \( a \)

Согласно тригонометрии, значение \( \cos a = \frac{1}{2} \) соответствует углу \( a = 60^\circ \) (или \( a = \frac{\pi}{3} \) радиан) в первой четверти. Однако также нужно учитывать, что косинус положителен в четвёртой четверти, что даёт ещё один возможный угол \( a = 300^\circ \) (или \( a = \frac{5\pi}{3} \) радиан). Мы будем рассматривать оба значения.

Шаг 2: Находим \( \sin a \)

Используем основное тригонометрическое соотношение, которое связывает синус и косинус:

\[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]

Подставим известное значение \( \cos a \):

\[ \sin^2 a + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 \]

Это можно переписать как:

\[ \sin^2 a + \frac{1}{4} = 1 \]

Теперь вычтем \( \frac{1}{4} \) из обеих сторон:

\[ \sin^2 a = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]

Теперь извлечем квадратный корень:

\[ \sin a = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Поскольку \( \sin a \) положителен в первой четверти, мы получаем:

\[ \sin a = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

А в четвёртой четверти:

\[ \sin a = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Шаг 3: Находим \( \tan a \)

Используем соотношение, которое связывает тангенс, синус и косинус:

\[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \]

Подставим найденные значения. Для \( a = 60^\circ \):

\[ \tan a = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \]

И для \( a = 300^\circ \):

\[ \tan a = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3} \]

Ответ

Таким образом, для угла \( a \):

• Для \( a = 60^\circ \):

  • \( \sin a = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
  • \( \tan a = \sqrt{3} \)

• Для \( a = 300^\circ \):

  • \( \sin a = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
  • \( \tan a = -\sqrt{3} \)

Это полное решение задачи! Если у вас остались вопросы или необходимо объяснить что-то ещё, не стесняйтесь спрашивать!