Чтобы решить задачу, нам нужно использовать принцип Архимеда, который гласит, что на любое тело, погружённое в жидкость, действует сила, равная весу вытесненной этим телом жидкости.
Давайте обозначим:
- ( \rho_1 = 400 , \text{кг/м}^3 ) (плотность первой жидкости)
- ( \rho_2 = 850 , \text{кг/м}^3 ) (плотность второй жидкости)
- ( \rho_s ) = искомая плотность шара
- ( V ) = объём шара
Сперва определим, что 3/4 объёма шара находится в первой жидкости, а 1/4 — во второй жидкости.
Шаг 1: Определение объёмов вытесненной жидкости
Объём шара, погружённый в первую жидкость:
[
V_1 = \frac{3}{4} V
]
Объём шара, погружённый во вторую жидкость:
[
V_2 = \frac{1}{4} V
]
Шаг 2: Определение силы Архимеда
Сила Архимеда, действующая на шар, равна весу вытесненной жидкости:
Для первой жидкости:
[
F_1 = \rho_1 \cdot V_1 \cdot g = 400 \cdot \frac{3}{4} V \cdot g = 300 V g
]
Для второй жидкости:
[
F_2 = \rho_2 \cdot V_2 \cdot g = 850 \cdot \frac{1}{4} V \cdot g = 212.5 V g
]
Шаг 3: Общая сила Архимеда
Общая сила Архимеда, действующая на шар:
[
F_{A} = F_1 + F_2 = 300 V g + 212.5 V g = 512.5 V g
]
Шаг 4: Условие равновесия
В равновесии сила Архимеда уравновешивает вес шара:
[
F_A = \rho_s \cdot V \cdot g
]
Приравниваем силы:
[
512.5 V g = \rho_s \cdot V \cdot g
]
Шаг 5: Упрощение уравнения
Сокращаем ( V ) и ( g ):
[
512.5 = \rho_s
]
Ответ
Таким образом, плотность шара, при которой 3/4 его объёма будет находиться выше границы раздела жидкостей, равна:
[
\rho_s = 512.5 , \text{кг/м}^3
]
Это и есть искомая плотность шара.
