Шар плавает на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей, плотности которых равны ρ1=400 кг/м3 и ρ2=850 кг/м3 (см. рисунок). Найдите плотность шара, при которой 3/4 его…

Чтобы решить задачу, нам нужно использовать принцип Архимеда, который гласит, что на любое тело, погружённое в жидкость, действует сила, равная весу вытесненной этим телом жидкости.

Давайте обозначим:

• \( \rho_1 = 400 \, \text{кг/м}^3 \) (плотность первой жидкости)
• \( \rho_2 = 850 \, \text{кг/м}^3 \) (плотность второй жидкости)
• \( \rho_s \) = искомая плотность шара
• \( V \) = объём шара

Сперва определим, что 3/4 объёма шара находится в первой жидкости, а 1/4 — во второй жидкости.

Шаг 1: Определение объёмов вытесненной жидкости

1. Объём шара, погружённый в первую жидкость: \[ V_1 = \frac{3}{4} V \]

2. Объём шара, погружённый во вторую жидкость: \[ V_2 = \frac{1}{4} V \]

Шаг 2: Определение силы Архимеда

Сила Архимеда, действующая на шар, равна весу вытесненной жидкости:

• Для первой жидкости: \[ F_1 = \rho_1 \cdot V_1 \cdot g = 400 \cdot \frac{3}{4} V \cdot g = 300 V g \]

• Для второй жидкости: \[ F_2 = \rho_2 \cdot V_2 \cdot g = 850 \cdot \frac{1}{4} V \cdot g = 212.5 V g \]

Шаг 3: Общая сила Архимеда

Общая сила Архимеда, действующая на шар: \[ F_{A} = F_1 + F_2 = 300 V g + 212.5 V g = 512.5 V g \]

Шаг 4: Условие равновесия

В равновесии сила Архимеда уравновешивает вес шара: \[ F_A = \rho_s \cdot V \cdot g \]

Приравниваем силы: \[ 512.5 V g = \rho_s \cdot V \cdot g \]

Шаг 5: Упрощение уравнения

Сокращаем \( V \) и \( g \): \[ 512.5 = \rho_s \]

Ответ

Таким образом, плотность шара, при которой 3/4 его объёма будет находиться выше границы раздела жидкостей, равна: \[ \rho_s = 512.5 \, \text{кг/м}^3 \]

Это и есть искомая плотность шара.