Диагонали АС и BD трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О, BC=5, AD=7, AC=36. Найдите АО.

Чтобы найти длину отрезка \( AO \) в трапеции \( ABCD \), где диагонали \( AC \) и \( BD \) пересекаются в точке \( O \), нам понадобятся некоторые свойства трапеции и её диагоналей.

В данной задаче известно следующее:

• Длина основания \( BC = 5 \)
• Длина основания \( AD = 7 \)
• Длина диагонали \( AC = 36 \)

Сначала вспомним одно важное свойство: в трапеции, где пересекаются диагонали, отношение отрезков, на которые они делят одну из сторон, равно отношению оснований.

Таким образом, если обозначить:

• \( AO = x \)
• \( OC = 36 - x \)

И пропорция, используя длины оснований, будет выглядеть так:

\[ \frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{x}{36 - x} = \frac{7}{5} \]

Теперь умножим крест-накрест:

\[ 5x = 7(36 - x) \]

Раскроем скобки:

\[ 5x = 252 - 7x \]

Переносим все \( x \)-ные члены в одну сторону:

\[ 5x + 7x = 252 \]

Сложим:

\[ 12x = 252 \]

Теперь разделим обе стороны на 12:

\[ x = \frac{252}{12} = 21 \]

Таким образом, мы нашли длину отрезка \( AO \):

\[ AO = 21 \]

Ответ: \( AO = 21 \).