В анализируемом тексте можно выделить следующие наречия, определить их разряд и синтаксическую функцию:
По-моему — наречие (разряд: обстоятельственное), член предложения: обстоятельство (обстоятельство мнения).
Дальше — наречие (разряд: обстоятельственное), член предложения: обстоятельство (обстоятельство места).
Врассыпную — наречие (разряд: обстоятельственное), член предложения: обстоятельство (обстоятельство образа действия).
Наконец — наречие (разряд: обстоятельственное), член предложения: обстоятельство (обстоятельство времени).
Видимо-невидимо — наречие (разряд: обстоятельственное), член предложения: обстоятельство (обстоятельство количества).
Сплошь — наречие (разряд: обстоятельственное), член предложения: обстоятельство (обстоятельство меры).
Понемногу — наречие (разряд: обстоятельственное), член предложения: обстоятельство (обстоятельство меры).
Доверху — наречие (разряд: обстоятельственное), член предложения: обстоятельство (обстоятельство меры).
Досыта — наречие (разряд: обстоятельственное), член предложения: обстоятельство (обстоятельство состояния).
Таким образом, все выделенные наречия являются обстоятельственными и выполняют функцию определения действий или состояний в предложении.