Чтобы представить трёхчлен (64b^2 - 48b + 9) в виде произведения двух одинаковых множителей, давайте сначала рассмотрим его структуру и найдем корни, если они существуют.
Шаг 1: Проверка формы
Трёхчлен имеет вид (ax^2 + bx + c), где:
- (a = 64),
- (b = -48),
- (c = 9).
Шаг 2: Пытаемся факторизовать
Мы хотим представить этот трёхчлен в виде ((mb + n)^2), где (m) и (n) — некоторые коэффициенты, которые нужно найти.
Шаг 3: Подбор (m) и (n)
Поскольку у нас ((mb + n)^2), мы можем раскрыть это выражение:
[
(mb + n)^2 = m^2b^2 + 2mnb + n^2.
]
Теперь нам нужно сопоставить коэффициенты этого выражения с исходным трёхчленом:
- (m^2 = 64),
- (2mn = -48),
- (n^2 = 9).
Шаг 4: Решаем уравнения
Найдем (m):
[
m^2 = 64 \implies m = 8 \text{ или } m = -8.
]
В дальнейшем, мы возьмём (m = 8).
Теперь подставим (m) в уравнение для (2mn = -48):
[
2 \cdot 8 \cdot n = -48 \implies 16n = -48 \implies n = -3.
]
Проверим, подходит ли (n = -3) для последнего уравнения:
[
n^2 = 9 \implies (-3)^2 = 9,
]
что верно.
Шаг 5: Записываем произведение
Теперь мы можем составить наш трёхчлен в виде:
[
(8b - 3)^2.
]
Ответ
Таким образом, трёхчлен (64b^2 - 48b + 9) можно записать в виде:
[
(8b - 3)^2.
]
Заключение
Мы успешно представили данный трёхчлен в виде произведения двух одинаковых множителей. Этот процесс включает нахождение коэффициентов, удовлетворяющих исходному уравнению, и применение знаний о квадрате двучлена.
