Для решения этой задачи мы можем использовать модель биномиального распределения, поскольку каждая батарейка может быть исправной или неисправной.
Обозначим:
- ( n ) — общее число батареек, которые мы возьмем,
- ( p = 0,98 ) — вероятность, что одна батарейка исправна,
- ( k = 6 ) — количество исправных батареек, которые нам нужно получить.
Мы хотим, чтобы вероятность того, что у нас будет хотя бы 6 исправных батареек, была не менее 0,95. Это можно записать как:
[
P(X \geq 6) \geq 0,95
]
где ( X ) — количество исправных батареек из ( n ). Запишем это как:
[
1 - P(X < 6) \geq 0,95
]
что значит:
[
P(X < 6) \leq 0,05
]
Так как ( X ) распределен по биномиальному закону:
[
P(X < 6) = \sum_{k=0}^{5} P(X = k) = \sum_{k=0}^{5} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
]
Теперь мы можем подставить ( p = 0,98 ) и ( 1-p = 0,02 ) и искать наименьшее значение ( n ).
Для нахождения наименьшего ( n ) используем пробный расчет, подставляя различные значения ( n ) и вычисляя ( P(X < 6) ) до тех пор, пока не достигнем условия.
Давайте проведем вычисления шаг за шагом:
- Пробуем ( n = 8 ):
[
P(X < 6) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
]
Используем формулу:
[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
]
Теперь подставляем ( n = 8 ) и вычисляем:
- ( P(X = 0) = \binom{8}{0} (0,98)^0 (0,02)^8 \approx 0 )
- ( P(X = 1) = \binom{8}{1} (0,98)^1 (0,02)^7 \approx 0 )
- ( P(X = 2) = \binom{8}{2} (0,98)^2 (0,02)^6 \approx 0 )
- ( P(X = 3) = \binom{8}{3} (0,98)^3 (0,02)^5 \approx 0 )
- ( P(X = 4) = \binom{8}{4} (0,98)^4 (0,02)^4 \approx 0,0003 )
- ( P(X = 5) = \binom{8}{5} (0,98)^5 (0,02)^3 \approx 0,0084 )
Теперь суммируем:
[
P(X < 6) \approx 0 + 0 + 0 + 0 + 0,0003 + 0,0084 \approx 0,0087
]
Эта вероятность меньше 0,05, поэтому пробуем увеличить ( n ).
Пробуем ( n = 9 ):
(проделываем аналогичные вычисления и у нас будет тоже вероятность меньше 0,05).
Пробуем ( n = 10 ):
(аналогично).
Пробуем ( n = 11 ):
В результате мы находим, что при ( n = 11 ):
[
P(X < 6) \leq 0,05 \text{ достигнуто}
]
Наименьшее число батареек, которые нужно взять в поход, чтобы среди них оказались хотя бы 6 исправных с вероятностью 0,95 и выше, равно:
11
