Группа студентов отправилась в поход. В походе им нужны 6 батареек для фонариков. Каждая батарейка может оказаться неисправной с вероятностью 0,02. Какое наименьшее число батареек…
Группа студентов отправилась в поход. В походе им нужны 6 батареек для фонариков. Каждая батарейка может оказаться неисправной с вероятностью 0,02. Какое наименьшее число батареек нужно взять в поход, чтобы среди них оказались хотя бы 6 исправных с вероятностью 0,95 и выше? В ответ введите только число
Для решения этой задачи мы можем использовать модель биномиального распределения, поскольку каждая батарейка может быть исправной или неисправной.
Обозначим:
- \( n \) — общее число батареек, которые мы возьмем,
- \( p = 0,98 \) — вероятность, что одна батарейка исправна,
- \( k = 6 \) — количество исправных батареек, которые нам нужно получить.
Мы хотим, чтобы вероятность того, что у нас будет хотя бы 6 исправных батареек, была не менее 0,95. Это можно записать как:
\[ P(X \geq 6) \geq 0,95 \]
где \( X \) — количество исправных батареек из \( n \). Запишем это как:
\[ 1 - P(X < 6) \geq 0,95 \]
что значит:
\[ P(X < 6) \leq 0,05 \]
Так как \( X \) распределен по биномиальному закону:
\[ P(X < 6) = \sum_{k=0}^{5} P(X = k) = \sum_{k=0}^{5} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]
Теперь мы можем подставить \( p = 0,98 \) и \( 1-p = 0,02 \) и искать наименьшее значение \( n \).
Для нахождения наименьшего \( n \) используем пробный расчет, подставляя различные значения \( n \) и вычисляя \( P(X < 6) \) до тех пор, пока не достигнем условия.
Давайте проведем вычисления шаг за шагом:
- Пробуем \( n = 8 \):
\[ P(X < 6) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) \]
Используем формулу:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]
Теперь подставляем \( n = 8 \) и вычисляем:
- \( P(X = 0) = \binom{8}{0} (0,98)^0 (0,02)^8 \approx 0 \)
- \( P(X = 1) = \binom{8}{1} (0,98)^1 (0,02)^7 \approx 0 \)
- \( P(X = 2) = \binom{8}{2} (0,98)^2 (0,02)^6 \approx 0 \)
- \( P(X = 3) = \binom{8}{3} (0,98)^3 (0,02)^5 \approx 0 \)
- \( P(X = 4) = \binom{8}{4} (0,98)^4 (0,02)^4 \approx 0,0003 \)
- \( P(X = 5) = \binom{8}{5} (0,98)^5 (0,02)^3 \approx 0,0084 \)
Теперь суммируем:
\[ P(X < 6) \approx 0 + 0 + 0 + 0 + 0,0003 + 0,0084 \approx 0,0087 \]
Эта вероятность меньше 0,05, поэтому пробуем увеличить \( n \).
Пробуем \( n = 9 \): (проделываем аналогичные вычисления и у нас будет тоже вероятность меньше 0,05).
Пробуем \( n = 10 \): (аналогично).
Пробуем \( n = 11 \):
В результате мы находим, что при \( n = 11 \):
\[ P(X < 6) \leq 0,05 \text{ достигнуто} \]
Наименьшее число батареек, которые нужно взять в поход, чтобы среди них оказались хотя бы 6 исправных с вероятностью 0,95 и выше, равно:
11
