дан треугольник НДК угол Д 90° НД 10 см синус угла к 7/8 найти КД,НК тангенс угла Н
Чтобы решить задачу, мы будем использовать свойства прямоугольного треугольника и тригонометрические функции.
У нас есть треугольник НДК с прямым углом в точке Д, где стороны НД, ДК и НК обозначают соответственно стороны против угла Н, по углу Д и гипотенузу (это будет сторона НК):
Изначальные данные:
- Угол Д = 90°
- НД = 10 см
- sin(угла К) = 7/8
Найдем стороны КД и НК.
Формула для нахождения синуса угла в прямоугольном треугольнике:
\[ \sin(K) = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} \]
Для угла К противолежащая сторона — это НД, а гипотенуза — это НК. Подставим известные значения:
\[ \sin(K) = \frac{НД}{НК} = \frac{10}{НК} \] Получаем:
\[ \frac{10}{НК} = \frac{7}{8} \]
Теперь решим это уравнение на нахождение НК:
\[ 10 \cdot 8 = 7 \cdot НК \] \[ 80 = 7 \cdot НК \] \[ НК = \frac{80}{7} \approx 11.43 \, \text{см} \]
- Теперь найдем КД:
В прямоугольном треугольнике НДК можно использовать теорему Пифагора:
\[ НК^2 = НД^2 + КД^2 \]
Подставляем известные величины:
\[ \left(\frac{80}{7}\right)^2 = 10^2 + КД^2 \]
Сначала вычислим \( \left(\frac{80}{7}\right)^2 \):
\[ \left(\frac{80}{7}\right)^2 = \frac{6400}{49} \]
Теперь заменим в уравнении:
\[ \frac{6400}{49} = 100 + КД^2 \] \[ КД^2 = \frac{6400}{49} - 100 \] Чтобы вычесть 100, нужно привести к общему знаменателю:
\[ 100 = \frac{4900}{49} \] Теперь подставляем:
\[ КД^2 = \frac{6400}{49} - \frac{4900}{49} = \frac{1500}{49} \]
И находим КД, взяв квадратный корень:
\[ КД = \sqrt{\frac{1500}{49}} = \frac{\sqrt{1500}}{7} \approx \frac{38.73}{7} \approx 5.53 \, \text{см} \]
- Теперь найдем тангенс угла Н:
Для угла Н используется следующая формула:
\[ \tan(N) = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{прилежащая сторона}} = \frac{НД}{КД} \]
Подставляем значения:
\[ \tan(N) = \frac{10}{КД} = \frac{10}{\frac{\sqrt{1500}}{7}} = \frac{10 \cdot 7}{\sqrt{1500}} = \frac{70}{\sqrt{1500}} \approx \frac{70}{38.73} \approx 1.81 \]
Таким образом, мы нашли:
- \( КД \approx 5.53 \, \text{см} \)
- \( НК \approx 11.43 \, \text{см} \)
- \( \tan(N) \approx 1.81 \)
Эти значения дают полное представление о треугольнике НДК. Если у вас возникли вопросы по каким-либо этапам решения, не стесняйтесь спрашивать!
Обсуждение
2 сообщениякакое решение идёт после подставления пропорции
Давайте подробно рассмотрим решение, начиная с подстановки пропорции для нахождения сторон треугольника НДК с учетом угла К.
Данные:
- Угол \( D = 90^\circ \) (прямой угол)
- Сторона \( НД = 10 \, \text{см} \)
- \( \sin(K) = \frac{7}{8} \)
Используя определение синуса, подставляем:
\[ \sin(K) = \frac{НД}{НК} \]
Подставляем известные значения:
\[ \frac{7}{8} = \frac{10}{НК} \]
Теперь произведем перекрестное умножение, чтобы найти \( НК \):
\[ 7 \cdot НК = 10 \cdot 8 \] \[ 7 \cdot НК = 80 \]
Теперь делим обе стороны на 7:
\[ НК = \frac{80}{7} \approx 11.43 \, \text{см} \]
Следующий шаг: Найти сторону \( КД \)
С помощью теоремы Пифагора:
\[ НК^2 = НД^2 + КД^2 \]
Подставляем известные значения:
\[ \left(\frac{80}{7}\right)^2 = 10^2 + КД^2 \]
Теперь вычислим \( \left(\frac{80}{7}\right)^2 \) и \( 10^2 \):
\[ \left(\frac{80}{7}\right)^2 = \frac{6400}{49}, \quad 10^2 = 100 \] Приведем 100 к общему знаменателю 49:
\[ 100 = \frac{4900}{49} \]
Теперь подставляем в уравнение:
\[ \frac{6400}{49} = \frac{4900}{49} + КД^2 \]
Вычтем \( \frac{4900}{49} \) из обеих сторон:
\[ КД^2 = \frac{6400}{49} - \frac{4900}{49} \] \[ КД^2 = \frac{1500}{49} \]
Теперь находим \( КД \):
\[ КД = \sqrt{\frac{1500}{49}} = \frac{\sqrt{1500}}{7} \]
Вычислим \( \sqrt{1500} \):
\[ \sqrt{1500} = \sqrt{100 \cdot 15} = 10\sqrt{15} \approx 10 \cdot 3.87 \approx 38.73 \]
И тогда:
\[ КД \approx \frac{38.73}{7} \approx 5.53 \, \text{см} \]
Теперь найдем тангенс угла \( N \)
Используем определение тангенса:
\[ \tan(N) = \frac{НД}{КД} \]
Подставляем найденные значения:
\[ \tan(N) = \frac{10}{\frac{38.73}{7}} = \frac{10 \cdot 7}{38.73} = \frac{70}{38.73} \approx 1.81 \]
Результаты:
- \( КД \approx 5.53 \, \text{см} \)
- \( НК \approx 11.43 \, \text{см} \)
- \( \tan(N) \approx 1.81 \)
Если есть дополнительные вопросы или требуется помощь в каких-то конкретных аспектах задачи, дайте знать!
