Решение

Давайте разберём задачи по порядку.

Задача 16:

Две хорды в окружности. Расстояние от центра окружности до первой хорды равно 45, а до второй — 24. Найти длину второй хорды, если длина первой хорды равна 48.

1. Теорема: Длина хорды \( c \) в окружности может быть найдена с помощью радиуса \( R \) и расстояния от центра до хорды \( d \) по формуле: \[ c = 2 \sqrt{R^2 - d^2} \]

2. Первая хорда:

   • Длина хорды \( c_1 = 48 \).
   • Расстояние до центра \( d_1 = 45 \).

3. Найдём радиус через первую хорду: \[ 48 = 2 \sqrt{R^2 - 45^2} \] \[ 24 = \sqrt{R^2 - 2025} \] \[ 24^2 = R^2 - 2025 \] \[ 576 = R^2 - 2025 \] \[ R^2 = 2601 \] \[ R = 51 \]

4. Вторая хорда:

   • Расстояние до центра \( d_2 = 24 \).

5. Найдём длину второй хорды: \[ c_2 = 2 \sqrt{51^2 - 24^2} \] \[ c_2 = 2 \sqrt{2601 - 576} \] \[ c_2 = 2 \sqrt{2025} \] \[ c_2 = 2 \times 45 = 90 \]

Ответ: Длина второй хорды равна 90.

Задача 17:

Площадь ромба равна 336, а одна из его диагоналей равна 14. Найдите радиус окружности, вписанной в этот ромб.

1. Формула площади ромба через диагонали: \[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \] где \( d_1 \) и \( d_2 \) — диагонали ромба.

2. Подставим известные значения: \[ 336 = \frac{14 \cdot d_2}{2} \] \[ 336 = 7 \cdot d_2 \] \[ d_2 = \frac{336}{7} = 48 \]

3. Радиус вписанной окружности: Используется формула для радиуса окружности, вписанной в ромб: \[ r = \frac{S}{P} \] где \( P \) — периметр ромба. Периметр найдём через стороны:

4. Находим сторону ромба \( a \): \[ a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} \] \[ a = \sqrt{\left(\frac{14}{2}\right)^2 + \left(\frac{48}{2}\right)^2} \] \[ a = \sqrt{7^2 + 24^2} \] \[ a = \sqrt{49 + 576} \] \[ a = \sqrt{625} = 25 \]

5. Периметр ромба: \[ P = 4a = 4 \times 25 = 100 \]

6. Радиус: \[ r = \frac{336}{100} = 3.36 \]

Ответ: Радиус окружности, вписанной в ромб, равен 3.36 единицы.