Для решения задачи определим время, за которое шарик поднимется до максимальной высоты. Используем уравнение движения:
[
v = v_0 - g t,
]
где (v) — конечная скорость (в максимальной высоте равна 0), (v_0) — начальная скорость (20 м/с), (g) — ускорение свободного падения (9.81 м/с²), (t) — время подъёма.
Подставим известные значения и найдём время подъёма:
[
0 = 20 - 9.81 t \Rightarrow 9.81 t = 20 \Rightarrow t = \frac{20}{9.81} \approx 2.04 \text{ с}.
]
Итак, общее время подъёма (T) составляет около 2.04 с.
Теперь найдем средние скорости за первую и вторую половины времени подъёма. Первая половина времени подъёма будет составлять (T/2 \approx 1.02 \text{ с}).
1. Средняя скорость за первую половину подъема:
Для нахождения средней скорости используем формулу:
[
V_{\text{ср}_1} = \frac{\Delta S_1}{\Delta t_1},
]
где (\Delta t_1 = T/2). Для нахождения (\Delta S_1) воспользуемся уравнением движения (для расстояния):
[
S = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2.
]
Подставим (t = T/2):
[
S_1 = 20 \cdot 1.02 - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot (1.02)^2.
]
Вычислим расстояние:
[
S_1 \approx 20 \cdot 1.02 - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot 1.0404 \approx 20.4 - 5.11 \approx 15.29 \text{ м}.
]
Теперь можем найти среднюю скорость за первую половину времени:
[
V_{\text{ср}_1 = \frac{S_1}{T/2} = \frac{15.29}{1.02} \approx 14.99 \text{ м/с}.
]
2. Средняя скорость за вторую половину подъема:
Вторая половина времени подъема также составляет (T/2 \approx 1.02 \text{ с}), но мы должны найти расстояние S_2, которое шарик пройдет в это время. Для этого найдем максимальное расстояние (высоту) (H), которое шарик достигает:
[
H = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 = 20 \cdot 2.04 - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot (2.04)^2 \approx 40.8 - 20.4 \approx 20.4 \text{ м}.
]
Так как за вторую половину времени бала (от максимальной высоты до момента, когда скорость равна нулю):
[
S_2 = H - S_1 = 20.4 - 15.29 \approx 5.11 \text{ м}.
]
Теперь считаем среднюю скорость за вторую половину времени:
[
V_{\text{ср}_2} = \frac{S_2}{T/2} = \frac{5.11}{1.02} \approx 5.01 \text{ м/с}.
]
3. Ищем отношение средних скоростей:
Теперь найдем отношение средней скорости за первую половину времени к средней скорости за вторую половину времени:
[
\frac{V_{\text{ср}1}}{V{\text{ср}_2} } = \frac{14.99}{5.01} \approx 2.99.
]
Итак, отношение средней скорости движения за первую половину времени подъема к средней скорости за вторую половину времени составляет примерно 3. Результат округляем до целого числа: 3.
