Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии S= 25+20+16+64/5

Чтобы найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, используем формулу для суммы бесконечной геометрической последовательности:

\[ S = \frac{a}{1 - r} \]

где \( S \) — сумма прогрессии, \( a \) — первый элемент прогрессии, \( r \) — знаменатель прогрессии (коэффициент, на который умножается каждый последующий элемент).

Шаг 1: Определим первый элемент \( a \)

В нашем случае первый элемент \( a \) равен 25.

Шаг 2: Найдем знаменатель \( r \)

Чтобы найти \( r \), нам нужно определить, как соотносятся соседние члены прогрессии. Мы видим следующие элементы:

1-й элемент: \( a_1 = 25 \)
2-й элемент: \( a_2 = 20 \)
3-й элемент: \( a_3 = 16 \)
4-й элемент: \( a_4 = \frac{64}{5} \)

Теперь найдем значения \( r \): \[ r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{20}{25} = 0.8 \] \[ r = \frac{a_3}{a_2} = \frac{16}{20} = 0.8 \] \[ r = \frac{a_4}{a_3} = \frac{\frac{64}{5}}{16} = \frac{64}{5} \cdot \frac{1}{16} = \frac{64}{80} = 0.8 \]

Мы видим, что \( r = 0.8 \) остаётся неизменным для всех членов прогрессии.

Шаг 3: Применим формулу для суммы

Теперь, когда у нас есть \( a = 25 \) и \( r = 0.8 \), можем подставить эти значения в формулу:

\[ S = \frac{a}{1 - r} = \frac{25}{1 - 0.8} = \frac{25}{0.2} = 125 \]

Ответ

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна \( S = 125 \).