Чтобы найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, используем формулу для суммы бесконечной геометрической последовательности:
[
S = \frac{a}{1 - r}
]
где ( S ) — сумма прогрессии, ( a ) — первый элемент прогрессии, ( r ) — знаменатель прогрессии (коэффициент, на который умножается каждый последующий элемент).
Шаг 1: Определим первый элемент ( a )
В нашем случае первый элемент ( a ) равен 25.
Шаг 2: Найдем знаменатель ( r )
Чтобы найти ( r ), нам нужно определить, как соотносятся соседние члены прогрессии. Мы видим следующие элементы:
1-й элемент: ( a_1 = 25 )
2-й элемент: ( a_2 = 20 )
3-й элемент: ( a_3 = 16 )
4-й элемент: ( a_4 = \frac{64}{5} )
Теперь найдем значения ( r ):
[
r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{20}{25} = 0.8
]
[
r = \frac{a_3}{a_2} = \frac{16}{20} = 0.8
]
[
r = \frac{a_4}{a_3} = \frac{\frac{64}{5}}{16} = \frac{64}{5} \cdot \frac{1}{16} = \frac{64}{80} = 0.8
]
Мы видим, что ( r = 0.8 ) остаётся неизменным для всех членов прогрессии.
Шаг 3: Применим формулу для суммы
Теперь, когда у нас есть ( a = 25 ) и ( r = 0.8 ), можем подставить эти значения в формулу:
[
S = \frac{a}{1 - r} = \frac{25}{1 - 0.8} = \frac{25}{0.2} = 125
]
Ответ
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна ( S = 125 ).
