Рубин представляет собой кристалл корунда и имеет простейшую формулу Al2O3, в котором некоторое количество атомов алюминия замещено на атомы хрома. Определите массу оксида хрома (III) (в мг), которую необходимо сплавить с образцом корунда массой 18 карат для получения искусственного рубина. В полученном кристалле количество атомов алюминия должно относиться к количеству атомов хрома как 97 к 3. Масса 1 карата составляет 0,2 г. В ответе укажите число с точностью до целых
Давайте решим задачу шаг за шагом.
1. **Определим массу образца корунда в граммах**:
1 карат = 0,2 г.
Массa образца = 18 карат × 0,2 г/карат = 3,6 г.
2. **Найдем количество атомов алюминия** в образце корунда, учитывая формулу:
В корунде (Al₂O₃) на 2 атома алюминия приходится 3 атома кислорода.
3. **Основываясь на заданном соотношении** 97 алюминиевых атомов к 3 атомам хрома, мы можем установить, что на каждый 100 атомов в кристалле (97 + 3) будет 97 атомов алюминия и 3 атома хрома.
4. **Рассчитаем общее количество атомов** в 3,6 г корунда.
- Молярная масса Al₂O₃ = 2 × 26,98 г/моль (молярная масса Al) + 3 × 16,00 г/моль (молярная масса O) = 101,96 г/моль.
- Число молей корунда в 3,6 г = 3,6 г / 101,96 г/моль ≈ 0,0353 моль.
- Общее число формул корунда в образце = 0,0353 моль × 6,022 × 10²³ молекул/моль ≈ 2,13 × 10²² формул.
5. **Количество алюминиевых атомов**:
- Общее количество алюминиевых атомов = 2 × 2,13 × 10²² = 4,26 × 10²² атомов.
6. **Теперь найдем количество атомов хрома, которое будет необходимо**:
Мы знаем, что на 97 алюминиевых атомов должно приходиться 3 атома хрома. Таким образом:
\[
N_{Cr} = \frac{3}{97} \cdot N_{Al} = \frac{3}{97} \cdot 4,26 \times 10^{22} \approx 1,32 \times 10^{21} \text{ атомов Cr}.
\]
7. **Теперь найдем массу оксида хрома (Cr₂O₃)**:
- Для 2 атомов хрома (72 г/моль) и 3 атомов кислорода (16 г/моль):
\[
M_{Cr_2O_3} = 2 \times 51,996 г/моль + 3 \times 16 г/моль ≈ 152 г/моль.
\]
- Молекулы Cr₂O₃ в образце = \(\frac{1,32 \times 10^{21}}{6,022 \times 10^{23}} \approx 2,19 \times 10^{-3}\) моль Cr₂O₃.
- Масса оксида хрома = \(2,19 \times 10^{-3} \text{ моль} \times 152 г/моль \approx 0,333 г\) или 333 мг.
Принимая во внимание все данные, ответ будет:
\[
\boxed{333} \text{ мг}.
\]
