найдите координаты точек единичной окружности 21 пи / 4 при этом упростить выражение с сокращением, если возможно
Чтобы найти координаты точки на единичной окружности, соответствующей углу \( \frac{21\pi}{4} \), давайте выполним следующие шаги:
Шаг 1: Упрощение угла
Сначала найдем эквивалентный угол в пределах \( 0 \) и \( 2\pi \). Для этого можно вычесть \( 2\pi \) (или \( \frac{8\pi}{4} \)) из \( \frac{21\pi}{4} \), пока угол не станет меньше \( 2\pi \):
\[ \frac{21\pi}{4} - 2\pi = \frac{21\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{21\pi - 8\pi}{4} = \frac{13\pi}{4} \]
\[ \frac{13\pi}{4} - 2\pi = \frac{13\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{13\pi - 8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \]
Теперь мы имеем \( \frac{5\pi}{4} \).
Шаг 2: Находим координаты на единичной окружности
Координаты точки на единичной окружности: Угол \( \frac{5\pi}{4} \) находится во втором квадранте. Для нахождения координат используем формулы:
\[ x = \cos(\theta) \] \[ y = \sin(\theta) \]
где \( \theta = \frac{5\pi}{4} \).
Рассчитаем косинус и синус:
\[ \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
Шаг 3: Записываем итоговый ответ
Таким образом, координаты точки на единичной окружности, соответствующей углу \( \frac{21\pi}{4} \), равны:
\[ \boxed{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)} \]
Это и есть ответ: координаты точки на единичной окружности. Важно помнить, что углы можно приводить к эквивалентным углам, вычитая \( 2\pi \) для упрощения вычислений.
