Найдите координаты точек единичной окружности 21 пи / 4 при этом упростить выражение с сокращением, если возможно

Чтобы найти координаты точки на единичной окружности, соответствующей углу \( \frac{21\pi}{4} \), давайте выполним следующие шаги: ### Шаг 1: Упрощение угла 1. **Сначала найдем эквивалентный угол в пределах \( 0 \) и \( 2\pi \).** Для этого можно вычесть \( 2\pi \) (или \( \frac{8\pi}{4} \)) из \( \frac{21\pi}{4} \), пока угол не станет меньше \( 2\pi \): \[ \frac{21\pi}{4} - 2\pi = \frac{21\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{21\pi - 8\pi}{4} = \frac{13\pi}{4} \] \[ \frac{13\pi}{4} - 2\pi = \frac{13\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{13\pi - 8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \] Теперь мы имеем \( \frac{5\pi}{4} \). ### Шаг 2: Находим координаты на единичной окружности 2. **Координаты точки на единичной окружности:** Угол \( \frac{5\pi}{4} \) находится во втором квадранте. Для нахождения координат используем формулы: \[ x = \cos(\theta) \] \[ y = \sin(\theta) \] где \( \theta = \frac{5\pi}{4} \). 3. **Рассчитаем косинус и синус:** \[ \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] ### Шаг 3: Записываем итоговый ответ Таким образом, координаты точки на единичной окружности, соответствующей углу \( \frac{21\pi}{4} \), равны: \[ \boxed{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)} \] Это и есть ответ: координаты точки на единичной окружности. Важно помнить, что углы можно приводить к эквивалентным углам, вычитая \( 2\pi \) для упрощения вычислений.