Решить
Для решения этой задачи нам нужно выполнить несколько шагов.
Задача:
У нас есть дискретная случайная величина \( X \) с распределением вероятностей:
- Значение \( X \): 0, 1, 2
- Вероятности: 0.2, 0.3, 0.5
a) Составьте распределение вероятности для \( X \).
Это уже дано в условии, но можно записать в виде таблицы:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(X) & 0.2 & 0.3 & 0.5 \\ \hline \end{array} \]
b) Вычислите ожидаемое значение \( E(X) \).
Ожидаемое значение \( E(X) \) вычисляется по формуле:
\[ E(X) = \sum_{i=1}^n X_i \cdot P(X_i) \]
Подставим значения:
\[ E(X) = 0 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.3 + 2 \cdot 0.5 \] \[ E(X) = 0 + 0.3 + 1.0 = 1.3 \]
c) Вычислите дисперсию случайной величины \( X \).
Дисперсия \( D(X) \) вычисляется по формуле:
\[ D(X) = \sum_{i=1}^n (X_i - E(X))^2 \cdot P(X_i) \]
Сначала найдем \((X_i - E(X))^2\) для каждого значения:
- Для \(X = 0\): \((0 - 1.3)^2 = 1.69\)
- Для \(X = 1\): \((1 - 1.3)^2 = 0.09\)
- Для \(X = 2\): \((2 - 1.3)^2 = 0.49\)
Теперь подставим значения в формулу для дисперсии:
\[ D(X) = 1.69 \cdot 0.2 + 0.09 \cdot 0.3 + 0.49 \cdot 0.5 \] \[ D(X) = 0.338 + 0.027 + 0.245 = 0.61 \]
d) Найдите стандартное отклонение случайной величины \( X \).
Стандартное отклонение \( \sigma \) — это корень квадратный из дисперсии:
\[ \sigma = \sqrt{D(X)} \] \[ \sigma = \sqrt{0.61} \approx 0.78 \]
Итак, мы нашли все необходимые параметры для распределения случайной величины \( X \):
- Ожидаемое значение \( E(X) = 1.3 \)
- Дисперсия \( D(X) = 0.61 \)
- Стандартное отклонение \( \sigma \approx 0.78 \)
