Для решения данной задачи начнем с того, что у нас есть данные о поступлениях в бюджет в зависимости от ставки налога. Это говорит о том, что данная зависимость может быть описана квадратичной функцией, имеющей вид:
[ R(x) = ax^2 + bx + c ]
где ( R(x) ) — это поступления в бюджет, ( x ) — ставка налога, и ( a, b, c ) — коэффициенты, которые нужно определить.
Шаг 1: Известные данные
У нас есть следующие точки:
- При ( x = 10 ) (10%) ( R(x) = 1.3 ) млрд фантиков.
- При ( x = 33 ) (33%) ( R(x) = 1.3 ) млрд фантиков.
- При ( x = 27 ) (27%) ( R(x) = 1.6 ) млрд фантиков.
Шаг 2: Составляем систему уравнений
Мы можем подставить каждую из известных точек в уравнение ( R(x) = ax^2 + bx + c ):
Для ( x = 10 ):
[
1.3 = a(10^2) + b(10) + c \quad \Rightarrow \quad 1.3 = 100a + 10b + c \quad (1)
]
Для ( x = 33 ):
[
1.3 = a(33^2) + b(33) + c \quad \Rightarrow \quad 1.3 = 1089a + 33b + c \quad (2)
]
Для ( x = 27 ):
[
1.6 = a(27^2) + b(27) + c \quad \Rightarrow \quad 1.6 = 729a + 27b + c \quad (3)
]
Теперь у нас есть система из трех уравнений и трех неизвестных: ( a, b, c ).
Шаг 3: Упрощаем систему
Теперь мы можем вычесть уравнение (1) из уравнений (2) и (3).
Вычтем (1) из (2):
[
0 = (1089a - 100a) + (33b - 10b) + (c - c) \quad \Rightarrow \quad 0 = 989a + 23b \quad (4)
]
Вычтем (1) из (3):
[
0.3 = (729a - 100a) + (27b - 10b) + (c - c) \quad \Rightarrow \quad 0.3 = 629a + 17b \quad (5)
]
Теперь у нас две уравнения (4) и (5):
- ( 0 = 989a + 23b )
- ( 0.3 = 629a + 17b )
Шаг 4: Решим (4) относительно ( b )
Из уравнения (4):
[
b = -\frac{989}{23} a
]
Шаг 5: Подставляем ( b ) в уравнение (5)
Теперь подставим это значение в (5):
[
0.3 = 629a + 17\left(-\frac{989}{23} a\right)
]
Умножим на 23:
[
6.9 = 14467a - 16813a
]
[
6.9 = -2346a \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{6.9}{2346} \approx -0.002944
]
Шаг 6: Находим ( b )
Теперь можно найти ( b ):
[
b = -\frac{989}{23}(-0.002944) \approx 0.13
]
Шаг 7: Находим ( c )
Подставляем ( a ) и ( b ) в любое из уравнений, например, в (1):
[
1.3 = 100 \times -0.002944 + 10 \times 0.13 + c
]
[
1.3 \approx -0.2944 + 1.3 + c \Rightarrow c \approx 0.2944
]
Шаг 8: Находим максимумы
Квадратичная функция достигает максимума (или минимума, в зависимости от знака ( a )) в точке:
[
x_{\text{max}} = -\frac{b}{2a}
]
Подставим найденные значения:
[
x_{\text{max}} = -\frac{0.13}{2 \cdot -0.002944} \approx 22.05
]
Ответ
Таким образом, ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет, составляет примерно 22%.
