Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения данной задачи начнем с того, что у нас есть данные о поступлениях в бюджет в зависимости от ставки налога. Это говорит о том, что данная зависимость может быть описана квадратичной функцией, имеющей вид:
\[ R(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( R(x) \) — это поступления в бюджет, \( x \) — ставка налога, и \( a, b, c \) — коэффициенты, которые нужно определить.
Шаг 1: Известные данные
У нас есть следующие точки:
- При \( x = 10 \) (10%) \( R(x) = 1.3 \) млрд фантиков.
- При \( x = 33 \) (33%) \( R(x) = 1.3 \) млрд фантиков.
- При \( x = 27 \) (27%) \( R(x) = 1.6 \) млрд фантиков.
Шаг 2: Составляем систему уравнений
Мы можем подставить каждую из известных точек в уравнение \( R(x) = ax^2 + bx + c \):
Для \( x = 10 \): \[ 1.3 = a(10^2) + b(10) + c \quad \Rightarrow \quad 1.3 = 100a + 10b + c \quad (1) \]
Для \( x = 33 \): \[ 1.3 = a(33^2) + b(33) + c \quad \Rightarrow \quad 1.3 = 1089a + 33b + c \quad (2) \]
Для \( x = 27 \): \[ 1.6 = a(27^2) + b(27) + c \quad \Rightarrow \quad 1.6 = 729a + 27b + c \quad (3) \]
Теперь у нас есть система из трех уравнений и трех неизвестных: \( a, b, c \).
Шаг 3: Упрощаем систему
Теперь мы можем вычесть уравнение (1) из уравнений (2) и (3).
Вычтем (1) из (2): \[ 0 = (1089a - 100a) + (33b - 10b) + (c - c) \quad \Rightarrow \quad 0 = 989a + 23b \quad (4) \]
Вычтем (1) из (3): \[ 0.3 = (729a - 100a) + (27b - 10b) + (c - c) \quad \Rightarrow \quad 0.3 = 629a + 17b \quad (5) \]
Теперь у нас две уравнения (4) и (5):
- \( 0 = 989a + 23b \)
- \( 0.3 = 629a + 17b \)
Шаг 4: Решим (4) относительно \( b \)
Из уравнения (4): \[ b = -\frac{989}{23} a \]
Шаг 5: Подставляем \( b \) в уравнение (5)
Теперь подставим это значение в (5): \[ 0.3 = 629a + 17\left(-\frac{989}{23} a\right) \] Умножим на 23: \[ 6.9 = 14467a - 16813a \] \[ 6.9 = -2346a \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{6.9}{2346} \approx -0.002944 \]
Шаг 6: Находим \( b \)
Теперь можно найти \( b \): \[ b = -\frac{989}{23}(-0.002944) \approx 0.13 \]
Шаг 7: Находим \( c \)
Подставляем \( a \) и \( b \) в любое из уравнений, например, в (1): \[ 1.3 = 100 \times -0.002944 + 10 \times 0.13 + c \] \[ 1.3 \approx -0.2944 + 1.3 + c \Rightarrow c \approx 0.2944 \]
Шаг 8: Находим максимумы
Квадратичная функция достигает максимума (или минимума, в зависимости от знака \( a \)) в точке: \[ x_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} \] Подставим найденные значения: \[ x_{\text{max}} = -\frac{0.13}{2 \cdot -0.002944} \approx 22.05 \]
Ответ
Таким образом, ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет, составляет примерно 22%.
