5/9 ÷ ( 7/13 - 1/9 )

Чтобы решить задачу \( \frac{5}{9} \div \left( \frac{7}{13} - \frac{1}{9} \right) \), начнем с того, что необходимо выполнить действие в скобках. ### Шаг 1: Вычисление выражения в скобках У нас есть выражение: \[ \frac{7}{13} - \frac{1}{9} \] Для вычитания дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Знаменатели 13 и 9 не имеют общих множителей, поэтому их общий знаменатель будет равен \( 13 \times 9 = 117 \). ### Шаг 2: Приведение дробей к общему знаменателю Теперь приводим обе дроби к общему знаменателю 117: 1. Для \(\frac{7}{13}\): \[ \frac{7}{13} = \frac{7 \times 9}{13 \times 9} = \frac{63}{117} \] 2. Для \(\frac{1}{9}\): \[ \frac{1}{9} = \frac{1 \times 13}{9 \times 13} = \frac{13}{117} \] ### Шаг 3: Вычитание дробей Теперь можем произвести вычитание: \[ \frac{63}{117} - \frac{13}{117} = \frac{63 - 13}{117} = \frac{50}{117} \] ### Шаг 4: Деление дробей Теперь наше исходное выражение преобразуется в: \[ \frac{5}{9} \div \frac{50}{117} \] Для деления дробей мы должны умножить первую дробь на обратную второй: \[ \frac{5}{9} \div \frac{50}{117} = \frac{5}{9} \times \frac{117}{50} \] ### Шаг 5: Упрощение произведения дробей Теперь перемножим дроби: \[ \frac{5 \times 117}{9 \times 50} \] Сначала умножаем числители и знаменатели: \[ \frac{585}{450} \] ### Шаг 6: Упрощение дроби Теперь необходимо упростить полученную дробь \(\frac{585}{450}\): Находим наибольший общий делитель (НОД) 585 и 450. Для этого можно разложить числа на простые множители: - 585 = \(3 \times 5 \times 39\) = \(3 \times 5 \times 3 \times 13\) = \(3^2 \times 5 \times 13\) - 450 = \(2 \times 3^2 \times 5^2\) Общий множитель — \(3^2 \times 5 = 15\). Теперь делим числитель и знаменатель на 15: \[ \frac{585 \div 15}{450 \div 15} = \frac{39}{30} \] ### Шаг 7: Еще одно упрощение Теперь у нас осталась дробь \(\frac{39}{30}\). Проверим, можно ли ее упростить. 39 и 30 имеют общий делитель 3: \[ \frac{39 \div 3}{30 \div 3} = \frac{13}{10} \] ### Ответ Таким образом, результат вычисления выражения \( \frac{5}{9} \div \left( \frac{7}{13} - \frac{1}{9} \right) \) равен: \[ \boxed{\frac{13}{10}} \] Это результат в виде неправильной дроби. Если требуется, его можно преобразовать в смешанную дробь: \(1 \frac{3}{10}\).