2 x 4 − x 3 + 4 x 2 − 2 x = 0

Чтобы решить уравнение \(2x^4 - x^3 + 4x^2 - 2x = 0\), будем следовать пошаговому процессу. ### Шаг 1: Вынесение общего множителя Во-первых, мы заметим, что во всех членах уравнения есть общий множитель \(x\). Вынесем этот множитель: \[ x(2x^3 - x^2 + 4x - 2) = 0 \] Теперь у нас есть два множителя: \(x = 0\) и \(2x^3 - x^2 + 4x - 2 = 0\). ### Шаг 2: Решение первого множителя Решая первый множитель, мы получаем: \[ x = 0 \] ### Шаг 3: Решение второго множителя Теперь необходимо решить кубическое уравнение \(2x^3 - x^2 + 4x - 2 = 0\). Это уравнение трудно решить методом разложений, поэтому мы попытаемся найти хотя бы одно рациональное решение с помощью метода подбора. #### Подбор корней Проверим, подходит ли значение \(x = 1\): \[ 2(1)^3 - (1)^2 + 4(1) - 2 = 2 - 1 + 4 - 2 = 3 \quad (\text{не корень}) \] Теперь проверим \(x = -1\): \[ 2(-1)^3 - (-1)^2 + 4(-1) - 2 = -2 - 1 - 4 - 2 = -9 \quad (\text{не корень}) \] Продолжим подбор и проверим \(x = 2\): \[ 2(2)^3 - (2)^2 + 4(2) - 2 = 16 - 4 + 8 - 2 = 18 \quad (\text{не корень}) \] Теперь проверим \(x = -2\): \[ 2(-2)^3 - (-2)^2 + 4(-2) - 2 = -16 - 4 - 8 - 2 = -30 \quad (\text{не корень}) \] Проверим \(x = \frac{1}{2}\): \[ 2\left(\frac{1}{2}\right)^3 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4\left(\frac{1}{2}\right) - 2 = 2\left(\frac{1}{8}\right) - \frac{1}{4} + 2 - 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 2 - 2 = 0 \quad (\text{корень}) \] Итак, \(x = \frac{1}{2}\) является корнем уравнения. ### Шаг 4: Деление уравнения на \( (x - \frac{1}{2}) \) Теперь мы можем использовать деление многочлена для нахождения остальных корней. Разделим \(2x^3 - x^2 + 4x - 2\) на \(x - \frac{1}{2}\) с помощью деления многочленов или synthetic division. В результате деления мы получим: \[ 2x^3 - x^2 + 4x - 2 = \left(x - \frac{1}{2}\right)(2x^2 + 1) \] ### Шаг 5: Решение оставшегося квадратного уравнения Теперь нам нужно решить уравнение: \[ 2x^2 + 1 = 0 \] Поделим на 2: \[ x^2 + \frac{1}{2} = 0 \] ### Шаг 6: Находим комплексные корни Из данного уравнения: \[ x^2 = -\frac{1}{2} \] Таким образом, \[ x = \pm i\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{i\sqrt{2}}{2} \] ### Шаг 7: Итоговые корни Итак, у нас есть три корня уравнения: 1. \(x = 0\) 2. \(x = \frac{1}{2}\) 3. \(x = \frac{i\sqrt{2}}{2}\) 4. \(x = -\frac{i\sqrt{2}}{2}\) ### Итоговый ответ Корни уравнения: \[ x = 0, \quad x = \frac{1}{2}, \quad x = \frac{i\sqrt{2}}{2}, \quad x = -\frac{i\sqrt{2}}{2} \] Это полное решение, и все шаги были подробно объяснены. Если остались вопросы или нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!