В физической лаборатории проводят исследование по влиянию величины давления воздуха в цилиндрическом сосуде с поршнем на подъём в нём полого металлического шарика. Найди, до…

Для решения данной задачи мы воспользуемся законом Архимеда и уравнением состояния идеального газа.

Шаг 1: Определение начальных условий

1. Параметры воздуха:

   • Температура \( T = 26 \, °C = 273 + 26 = 299 \, K \)
   • Молярная масса \( M = 29 \, г/моль \)
   • Давление \( P \) — мы его найдем.

2. Параметры шарика:

   • Радиус \( r = 1 \, см = 0,01 \, м \)
   • Объем шарика: \[ V_{sh} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (0,01)^3 \approx 4.19 \cdot 10^{-6} \, м^3 \]
   • Масса шарика: \( m_{sh} = 4 \, \text{г} = 0.004 \, \text{кг} \)

Шаг 2: Сила Архимеда

Сила Архимеда ( \( F_{a} \) ) действует на шарик и равна весу вытесненной жидкости (в данном случае, воздуха):

\[ F_a = \rho_{air} \cdot V_{sh} \cdot g \]

где:

• \( \rho_{air} \) — плотность воздуха,
• \( V_{sh} \) — объем шарика,
• \( g \) — ускорение свободного падения (приблизительно \( 9.81 \, \text{м/с}^2 \)).

Плотность воздуха можно рассчитать по уравнению состояния идеального газа:

\[ \rho_{air} = \frac{PM}{RT} \]

где:

• \( P \) — давление (в Па),
• \( M \) — молярная масса (в кг/моль, то есть \( 0.029 \, \text{кг/моль} \)),
• \( R \) — универсальная газовая постоянная \( R \approx 8.31 \, \text{Дж/(моль·K)} \),
• \( T \) — температура (в К, то есть \( 299 \, K \)).

Шаг 3: Выражение для плотности воздуха

Теперь вычислим плотность воздуха:

\[ \rho_{air} = \frac{P \cdot 0.029}{8.31 \cdot 299} \]

Шаг 4: Установление условий для «оторвания» шарика

Шарик начнет подниматься, когда сила Архимеда станет больше его веса:

\[ F_a > m_{sh} \cdot g \]

Замена и преобразования:

\[ \rho_{air} \cdot V_{sh} \cdot g > m_{sh} \cdot g \]

Сокращая на \( g \):

\[ \rho_{air} \cdot V_{sh} > m_{sh} \]

Подставляем выражения:

\[ \frac{P \cdot 0.029}{8.31 \cdot 299} \cdot V_{sh} > m_{sh} \]

Шаг 5: Переписывание уравнения

Таким образом:

\[ P \cdot 0.029 > m_{sh} \cdot \frac{8.31 \cdot 299}{V_{sh}} \]

Теперь выразим \( P \):

\[ P > \frac{m_{sh} \cdot 8.31 \cdot 299}{0.029 \cdot V_{sh}} \]

Шаг 6: Подстановка значений

• \( V_{sh} \approx 4.19 \cdot 10^{-6} \, м^3 \)
• \( m_{sh} = 0.004 \, \text{кг} \)

Вычисляем:

\[ P > \frac{0.004 \cdot 8.31 \cdot 299}{0.029 \cdot 4.19 \cdot 10^{-6}} \]

Шаг 7: Подсчеты

1. Сначала считаем числитель: \[ 0.004 \cdot 8.31 \cdot 299 \approx 9.9486 \]

2. Затем считаем знаменатель: \[ 0.029 \cdot 4.19 \cdot 10^{-6} \approx 1.2141 \cdot 10^{-7} \]

3. Делим: \[ P > \frac{9.9486}{1.2141 \cdot 10^{-7}} \approx 81930804.94 \, \text{Па} \approx 81.93 \, \text{МПа} \]

Ответ

Чтобы шарик оторвался от дна сосуда, давление в цилиндрическом сосуде должно быть сжато до минимального значения, равного 81.9 МПа (округлено до десятых).