Для решения данной задачи мы воспользуемся законом Архимеда и уравнением состояния идеального газа.
Шаг 1: Определение начальных условий
Параметры воздуха:
- Температура ( T = 26 , °C = 273 + 26 = 299 , K )
- Молярная масса ( M = 29 , г/моль )
- Давление ( P ) — мы его найдем.
Параметры шарика:
- Радиус ( r = 1 , см = 0,01 , м )
- Объем шарика:
[
V_{sh} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (0,01)^3 \approx 4.19 \cdot 10^{-6} , м^3
]
- Масса шарика: ( m_{sh} = 4 , \text{г} = 0.004 , \text{кг} )
Шаг 2: Сила Архимеда
Сила Архимеда ( ( F_{a} ) ) действует на шарик и равна весу вытесненной жидкости (в данном случае, воздуха):
[
F_a = \rho_{air} \cdot V_{sh} \cdot g
]
где:
- ( \rho_{air} ) — плотность воздуха,
- ( V_{sh} ) — объем шарика,
- ( g ) — ускорение свободного падения (приблизительно ( 9.81 , \text{м/с}^2 )).
Плотность воздуха можно рассчитать по уравнению состояния идеального газа:
[
\rho_{air} = \frac{PM}{RT}
]
где:
- ( P ) — давление (в Па),
- ( M ) — молярная масса (в кг/моль, то есть ( 0.029 , \text{кг/моль} )),
- ( R ) — универсальная газовая постоянная ( R \approx 8.31 , \text{Дж/(моль·K)} ),
- ( T ) — температура (в К, то есть ( 299 , K )).
Шаг 3: Выражение для плотности воздуха
Теперь вычислим плотность воздуха:
[
\rho_{air} = \frac{P \cdot 0.029}{8.31 \cdot 299}
]
Шаг 4: Установление условий для «оторвания» шарика
Шарик начнет подниматься, когда сила Архимеда станет больше его веса:
[
F_a > m_{sh} \cdot g
]
Замена и преобразования:
[
\rho_{air} \cdot V_{sh} \cdot g > m_{sh} \cdot g
]
Сокращая на ( g ):
[
\rho_{air} \cdot V_{sh} > m_{sh}
]
Подставляем выражения:
[
\frac{P \cdot 0.029}{8.31 \cdot 299} \cdot V_{sh} > m_{sh}
]
Шаг 5: Переписывание уравнения
Таким образом:
[
P \cdot 0.029 > m_{sh} \cdot \frac{8.31 \cdot 299}{V_{sh}}
]
Теперь выразим ( P ):
[
P > \frac{m_{sh} \cdot 8.31 \cdot 299}{0.029 \cdot V_{sh}}
]
Шаг 6: Подстановка значений
- ( V_{sh} \approx 4.19 \cdot 10^{-6} , м^3 )
- ( m_{sh} = 0.004 , \text{кг} )
Вычисляем:
[
P > \frac{0.004 \cdot 8.31 \cdot 299}{0.029 \cdot 4.19 \cdot 10^{-6}}
]
Шаг 7: Подсчеты
Сначала считаем числитель:
[
0.004 \cdot 8.31 \cdot 299 \approx 9.9486
]
Затем считаем знаменатель:
[
0.029 \cdot 4.19 \cdot 10^{-6} \approx 1.2141 \cdot 10^{-7}
]
Делим:
[
P > \frac{9.9486}{1.2141 \cdot 10^{-7}} \approx 81930804.94 , \text{Па} \approx 81.93 , \text{МПа}
]
Ответ
Чтобы шарик оторвался от дна сосуда, давление в цилиндрическом сосуде должно быть сжато до минимального значения, равного 81.9 МПа (округлено до десятых).
