Задание 7. В крупном отделе компании 6 человек получают зарплату 75 тыс.р. в месяц, 10 человек получают 90 тыс. р., 8 человек получают по 125 тыс. р, и 3 человека – по 140 тыс. р.…
Задание 7. В крупном отделе компании 6 человек получают зарплату 75 тыс.р. в месяц, 10 человек получают 90 тыс. р., 8 человек получают по 125 тыс. р, и 3 человека – по 140 тыс. р. Перед Новым Годом совет директоров компании выделил на премирование сотрудников отдела 215 тыс. р. Эта сумма будет добавлена к декабрьской зарплате. Начальник отдела хочет распределить премии так, чтобы медиана общих выплат сотрудникам в декабре оказалась наибольшей возможной (это важный показатель работы начальника). Найдите эту наибольшую возможную медианную выплату. Ответ дайте в тысячах рублей.
Для решения задачи нужно понять, как медиана определяется и как она может измениться в зависимости от распределения премий. Последовательно разберем всю задачу.
Шаг 1: Определим исходные зарплаты всех сотрудников.
Мы имеем следующие зарплаты:
- 6 человек получают по 75 тыс. рублей.
- 10 человек получают по 90 тыс. рублей.
- 8 человек получают по 125 тыс. рублей.
- 3 человека получают по 140 тыс. рублей.
Шаг 2: Запишем все зарплаты и отсортируем их.
Итак, составим полный список зарплат:
- 75, 75, 75, 75, 75, 75 (6 х 75)
- 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90 (10 х 90)
- 125, 125, 125, 125, 125, 125, 125, 125 (8 х 125)
- 140, 140, 140 (3 х 140)
Объединим все зарплаты в один массив: \[ 75, 75, 75, 75, 75, 75, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 125, 125, 125, 125, 125, 125, 125, 125, 140, 140, 140 \]
Шаг 3: Найдем медиану без премий.
Всего у нас 37 сотрудников. Находим медиану:
- Поскольку число сотрудников нечетное (37), медиана — это элемент, находящийся на позиции \( \frac{37 + 1}{2} = 19^{th} \) в отсортированном списке.
Итак, 19-й элемент (в отсортированном списке): \[ 75, 75, 75, 75, 75, 75, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 125, 125, \textbf{125}, 125, 125, 125, 125, 125, 140, 140, 140 \]
Медиана без премий составляет 125 тыс. рублей.
Шаг 4: Рассмотрим, как распределить премии для увеличения медианы.
Совет директоров выделил 215 тыс. рублей. Нам нужно добавить премии так, чтобы максимизировать медиану.
Чтобы повысить медиану выше 125 тыс. рублей, необходимо добавлять премии преимущественно тем, кто получает больше 125 тыс. рублей.
Шаг 5: Проверим возможность повышения медианы до 140 тыс. рублей.
Если мы сможем сделать так, чтобы хотя бы 20 сотрудников (из 37) получали более 125 тыс. рублей, мы сможем увеличить медиану выше 125.
Приведем возможный вариант:
- Мы можем, например, дать по 15 тыс. рублей всем 3-м сотрудникам, которые получают по 140 тыс. рублей. Это даст нам:
- 3*15 = 45 тыс. рублей.
- Остаток на распределение 215 - 45 = 170 тыс. рублей.
- Эти 170 тыс. рублей можно распределить так:
- Дадим по 10 тыс. рублей еще 17 сотрудникам (из них 8 по 125 и 9 по 90), а оставшиеся 3 тыс. можно распределить, чтобы не превышать порог в 140 тыс.
При таком распределении, 20 сотрудников (все, кто получает 90 тыс. рублей и 8 по 125) получат 10 тыс. и окажутся на уровне:
- 140 тыс. (конечно, 3, кто уже получал 140, теперь 155), остальные получат 100 или 95.
Теперь в отсортированном массиве будет 20 сотрудников с зарплатой 140 тысяч, что позволяет установить, что медиана увеличена.
Шаг 6: Вычисление медианы.
Используя новое распределение, медиана будет находиться между 19-м (125) и 20-м (140) элементом.
Следовательно, новая медиана будет 140 тыс. рублей.
Таким образом, наибольшая возможная медианная выплата будет равна 140.
Ответ
140
