Давайте решим эту задачу поэтапно, чтобы было понятно, как находить время, за которое каждый дизайнер мог бы выполнить работу отдельно.
Шаг 1: Определим переменные.
Пусть:
- ( x ) — время, за которое первый дизайнер делает всю работу.
- ( y ) — время, за которое второй дизайнер делает всю работу.
Шаг 2: Найдем рабочие скорости дизайнеров.
Рабочая скорость дизайнеров определяется как количество работы, выполненное за 1 час. Таким образом:
- Первая дизайнер за 1 час выполняет ( \frac{1}{x} ) работы.
- Вторая дизайнер за 1 час выполняет ( \frac{1}{y} ) работы.
Шаг 3: Установим уравнение для совместной работы.
Когда оба дизайнера работают вместе, они выполняют общую работу ( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ) за 1 час. Они совместно выполнили всю работу за 48 часов, поэтому:
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{48}
]
Шаг 4: Установим уравнение для последовательной работы.
Если первый дизайнер выполняет первую половину работы, а второй — вторую половину, это выглядит так:
- Первый дизайнер выполняет 50% работы за ( \frac{1}{2} ) в течение ( \frac{1}{x} ) (то есть за ( \frac{x}{2} ) часов).
- Второй дизайнер выполняет вторую половину работы за ( \frac{y}{2} ) часов.
Совершенная работа суммарно занимает 121 час, следовательно:
[
\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 121
]
Умножив уравнение на 2, получаем:
[
x + y = 242
]
Шаг 5: У нас есть система уравнений.
Теперь у нас есть две уравнения:
- ( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{48} )
- ( x + y = 242 )
Из второго уравнения выразим ( y ):
[
y = 242 - x
]
Шаг 6: Подставим ( y ) во первое уравнение.
Теперь подставим ( y ) во первое уравнение:
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{242 - x} = \frac{1}{48}
]
Шаг 7: Умножим уравнение на ( 48x(242 - x) ), чтобы избавиться от дробей.
Переписываем уравнение:
[
48(242 - x) + 48x = x(242 - x)
]
Упростим уравнение:
[
11616 - 48x + 48x = 242x - x^2
]
[
11616 = 242x - x^2
]
Шаг 8: Перепишем в стандартной форме.
Это перепишется как:
[
x^2 - 242x + 11616 = 0
]
Шаг 9: Решим квадратное уравнение.
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = -242 ), ( c = 11616 ).
Считаем:
[
D = (-242)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11616 = 58564 - 46464 = 12100
]
[
x = \frac{242 \pm \sqrt{12100}}{2}
]
[
\sqrt{12100} = 110, \quad x = \frac{242 \pm 110}{2}
]
Находим корни:
- ( x = \frac{352}{2} = 176 ) (первый дизайнер)
- ( x = \frac{132}{2} = 66 ) (второй дизайнер)
Шаг 10: Найдем время каждого дизайнера.
Таким образом, первый дизайнер может завершить работу за 176 часов, а второй – за 66 часов.
Ответ:
- Первый дизайнер оформит учебник за 176 часов.
- Второй дизайнер оформит учебник за 66 часов.
