Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ по художественному оформлению учебника алгебры за 48 часов. Если бы половину работы выполнил один из них, а затем оставшуюся…

Давайте решим эту задачу поэтапно, чтобы было понятно, как находить время, за которое каждый дизайнер мог бы выполнить работу отдельно.

Шаг 1: Определим переменные.

Пусть:

• \( x \) — время, за которое первый дизайнер делает всю работу.
• \( y \) — время, за которое второй дизайнер делает всю работу.

Шаг 2: Найдем рабочие скорости дизайнеров.

Рабочая скорость дизайнеров определяется как количество работы, выполненное за 1 час. Таким образом:

• Первая дизайнер за 1 час выполняет \( \frac{1}{x} \) работы.
• Вторая дизайнер за 1 час выполняет \( \frac{1}{y} \) работы.

Шаг 3: Установим уравнение для совместной работы.

Когда оба дизайнера работают вместе, они выполняют общую работу \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) за 1 час. Они совместно выполнили всю работу за 48 часов, поэтому: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{48} \]

Шаг 4: Установим уравнение для последовательной работы.

Если первый дизайнер выполняет первую половину работы, а второй — вторую половину, это выглядит так:

• Первый дизайнер выполняет 50% работы за \( \frac{1}{2} \) в течение \( \frac{1}{x} \) (то есть за \( \frac{x}{2} \) часов).
• Второй дизайнер выполняет вторую половину работы за \( \frac{y}{2} \) часов.

Совершенная работа суммарно занимает 121 час, следовательно: \[ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 121 \] Умножив уравнение на 2, получаем: \[ x + y = 242 \]

Шаг 5: У нас есть система уравнений.

Теперь у нас есть две уравнения:

1. \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{48} \)
2. \( x + y = 242 \)

Из второго уравнения выразим \( y \): \[ y = 242 - x \]

Шаг 6: Подставим \( y \) во первое уравнение.

Теперь подставим \( y \) во первое уравнение: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{242 - x} = \frac{1}{48} \]

Шаг 7: Умножим уравнение на \( 48x(242 - x) \), чтобы избавиться от дробей.

Переписываем уравнение: \[ 48(242 - x) + 48x = x(242 - x) \]

Упростим уравнение: \[ 11616 - 48x + 48x = 242x - x^2 \] \[ 11616 = 242x - x^2 \]

Шаг 8: Перепишем в стандартной форме.

Это перепишется как: \[ x^2 - 242x + 11616 = 0 \]

Шаг 9: Решим квадратное уравнение.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -242 \), \( c = 11616 \).

Считаем: \[ D = (-242)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11616 = 58564 - 46464 = 12100 \] \[ x = \frac{242 \pm \sqrt{12100}}{2} \] \[ \sqrt{12100} = 110, \quad x = \frac{242 \pm 110}{2} \]

Находим корни:

1. \( x = \frac{352}{2} = 176 \) (первый дизайнер)
2. \( x = \frac{132}{2} = 66 \) (второй дизайнер)

Шаг 10: Найдем время каждого дизайнера.

Таким образом, первый дизайнер может завершить работу за 176 часов, а второй – за 66 часов.

Ответ:

• Первый дизайнер оформит учебник за 176 часов.
• Второй дизайнер оформит учебник за 66 часов.