Вероятность и статистика. Тема урока. Практическая работа по теме "Случайная изменчивость." 3адание 1. Массовое производство. На обертке шоколадного батончика написано, что его…
Вероятность и статистика. Тема урока. Практическая работа по теме "Случайная изменчивость." 3адание 1. Массовое производство. На обертке шоколадного батончика написано, что его масса 50 г. Это – номинальная масса или номинальный вес. ( Номинальное значение – такое значение, которое должно быть при нормальных условиях без учёта изменчивости.). Ребята купили по десять батончиков в двух магазинах. В таблице даны массы двадцати купленных одинаковых батончиков, полученные с помощью взвешивания: 1 партия: 49,1; 50,0; 49,7; 50,5; 48,1; 50,3; 49,7; 51,6; 49,8; 50,1; 2 партия: 49,7; 48,8; 51,4; 49,1; 49,6; 50,0; 48,5; 52,0; 50,7; 50,6. Ответьте на вопросы: 1.Найдите наибольший и наименьший веса взвешиваемых шоколадных батончиков первой партии. 2. Найдите наибольшее отклонение от номинального веса батончика в первой партии 3. Найдите средний вес батончика в первой партии . Убедитесь, что он мало отличается от 50 г. 4.Найдите средний вес батончика во второй партии. 5. Убедитесь, что средние веса батончиков обеих партий мало отличаются руг от друга и от номинального веса. 6.Сколько в каждой партии батончиков, вес которых превышает 50 г? Сколько таких батончиков в обеих партиях? Какую долю и какой процент они составляют? 7. Вес батончика, который вы покупаете, может быть больше или меньше номинального. Можно ли считать, что шансы этих событий равны, если судить по результатам взвешивания? Результат обсуждения. Для решения упражнений составим таблицу , в которую запишите вес батончиков в обеих партиях. Закрасьте в таблице ячейки, где масса батончика выше номинального, одним цветом, а другим – те, где ниже. Наибольшее значение 52,0 г, а наименьшее 48,1 г. Размах – 3,9 г. И только один батончик весит в точности 50 г. Но средняя масса всех батончиков 50,01 г, то есть практически не отличается от номинальной. В каждой партии половина батончиков имеет массу меньше номинальной. Только один батончик весит ровно 50 г. Таким образом, медиана данных близка к номинальной массе: шансы купить батончик легче или тяжелее номинала примерно одинаковые. Обратим внимание на средний вес в каждой партии и в обеих партиях вместе. Средний вес в первой партии 49,89 г, а во второй 50,13, а в двух партиях вместе 50,01 г. Такие малые отличия от 50 грамм говорят о том, что изменчивость вызвана, скорее всего, случайными отклонениями (погрешностями, ошибками) (в производстве, в наших измерениях), а систематическое отклонение крайне мало или отсутствует. Если отклонение мало отличается от заданного стандарта, то есть находится в пределах допустимой погрешности, то изделие считается годным. Если отклонение превышает допуск, то изделие считается бракованным. Итоги урока (Выводы). В жизни в основном мы имеем дело с изменчивыми величинами. Чаще всего причины изменчивости известны лишь частично. Поэтому мы говорим о случайной изменчивости. Изменчивость проявляется повсеместно: в биологии, в производстве товаров и даже в повседневной жизни. В производстве или при измерениях изменчивость часто связана с проявлением ошибок или отклонений: систематических и случайных. Систематическая ошибка не создает разброса данных, но приводит к значительному отличию среднего значения от номинального (массы, объема, напряжения в сети и т.п.). Случайные ошибки разнонаправлены – они дают отклонения то в меньшую, то в большую сторону, кВ таблице представлены данные об урожайности зерновых культур в России с 1992 по 2018 гг. в весе после доработки. Задание 2. 1. В сосуд с теплой водой погрузили 10 термометров. Термометры показали следующие результаты: 34,5°; 35,1°; 34,4°; 34,2°; 34,7°; 34,6°; 35,0°; 34,2°; 34,5°; 34,8°. а) Чем может объясняться изменчивость в показаниях термометров? Назовите хотя бы две возможные причины. б) Расположите полученные значения по возрастанию. в) Найдите среднее значение температуры и размах полученного набора. 2. Пользуясь результатами задачи 1, составьте таблицу отклонений показаний термометров от среднего значения. Сколько показаний меньше, чем среднее? Сколько показаний больше, чем среднее? 3. Пользуясь результатами задачи 1. найдите Наталья Гужва-Чижанова, 19 февраля в 15:01 медиану показаний термометров. Сколько показаний больше и сколько показаний меньше медианы?
Для решения задач, связанных со статистикой и вероятностью, давайте рассмотрим каждый пункт отдельно, начиная с задания 1, в котором были даны данные о массах шоколадных батончиков.
Задание 1
1. Найдите наибольший и наименьший веса взвешиваемых шоколадных батончиков первой партии.
Первичная партия:
- 49,1; 50,0; 49,7; 50,5; 48,1; 50,3; 49,7; 51,6; 49,8; 50,1.
Наибольший вес = 51,6 г
Наименьший вес = 48,1 г
Ответ: Наибольший вес — 51,6 г, наименьший вес — 48,1 г.
2. Найдите наибольшее отклонение от номинального веса батончика в первой партии.
Номинальный вес = 50 г.
Отклонения от номинального веса батончиков первой партии:
- 49,1 → -0,9
- 50,0 → 0,0
- 49,7 → -0,3
- 50,5 → +0,5
- 48,1 → -1,9
- 50,3 → +0,3
- 49,7 → -0,3
- 51,6 → +1,6
- 49,8 → -0,2
- 50,1 → +0,1
Наибольшее отклонение — 1,9 г (батончик 48,1 г).
Ответ: Наибольшее отклонение — 1,9 г.
3. Найдите средний вес батончика в первой партии. Убедитесь, что он мало отличается от 50 г.
Средний вес (X̄) = (Сумма весов) / (Количество батончиков)
Сумма весов первой партии = 49,1 + 50,0 + 49,7 + 50,5 + 48,1 + 50,3 + 49,7 + 51,6 + 49,8 + 50,1 = 499,9 г
Количество батончиков = 10
Средний вес = 499,9 / 10 = 49,99 г.
Ответ: Средний вес батончика в первой партии = 49,99 г, что мало отличается от 50 г.
4. Найдите средний вес батончика во второй партии.
Вторая партия:
- 49,7; 48,8; 51,4; 49,1; 49,6; 50,0; 48,5; 52,0; 50,7; 50,6.
Сумма весов второй партии = 49,7 + 48,8 + 51,4 + 49,1 + 49,6 + 50,0 + 48,5 + 52,0 + 50,7 + 50,6 = 500,4 г
Количество батончиков = 10
Средний вес во второй партии = 500,4 / 10 = 50,04 г.
Ответ: Средний вес батончика во второй партии = 50,04 г.
5. Убедитесь, что средние веса батончиков обеих партий мало отличаются друг от друга и от номинального веса.
Средний вес первой партии = 49,99 г
Средний вес второй партии = 50,04 г
Номинальный вес = 50 г
Отклонение среднего веса первой партии от номинального = 50,00 - 49,99 = 0,01 г
Отклонение среднего веса второй партии от номинального = 50,04 - 50,00 = 0,04 г
Обе средние массы близки к номинальному значению и отличаются друг от друга менее чем на 0,1 г.
Ответ: Средние веса обеих партий схожи и сами близки к номинальному весу.
6. Сколько в каждой партии батончиков, вес которых превышает 50 г? Какую долю и какой процент они составляют?
Первая партия:
- Батончики выше 50 г: 50,5; 51,6 → 2 батончика.
- Доля от 10: 2/10 = 0,2
- Процент: 0,2 * 100% = 20%
Вторая партия:
- Батончики выше 50 г: 51,4; 50,7; 50,6; 52,0 → 4 батончика.
- Доля от 10: 4/10 = 0,4
- Процент: 0,4 * 100% = 40%
Общая информация:
- В первой партии: 2 батончика выше 50 г, 20%.
- Во второй партии: 4 батончика выше 50 г, 40%.
Ответ: В первой партии 2 батончика (20%), во второй 4 батончика (40%).
7. Можно ли считать, что шансы на то, что батончик будет легче или тяжелее номинала, равны?
В первой партии 8 батончиков меньше 50 г и 2 больше. Вторая партия имеет 6 меньше и 4 больше. Это говорит о том, что шансы не равны — в первой партии статистически больше батончиков легче номинала, в то время как во второй партии шансы более уравновешенные.
Ответ: Шансы не равны; в первой партии больше батончиков, вес которых меньше номинала.
Итоги урока
Мы видим, что стабильность массы батончиков колебалась в пределах минимальных отклонений от номинального значения, что говорит о том, что изменчивость может быть случайной и не систематической. Подобные анализы помогают понять случайные отклонения и варьирование в производстве.
Задание 2
1. В сосуд с теплой водой погрузили 10 термометров. Запишите показатели.
Показания термометров:
34,5°; 35,1°; 34,4°; 34,2°; 34,7°; 34,6°; 35,0°; 34,2°; 34,5°; 34,8°.
а) Причины изменчивости:
- Погрешности измерений (неточные термометры).
- Непостоянная температура в сосуде.
б) Значения по возрастанию: 34,2°; 34,2°; 34,4°; 34,5°; 34,5°; 34,6°; 34,7°; 34,8°; 35,0°; 35,1°.
в) Среднее значение температуры и размах:
Сумма = 34,2 + 34,2 + 34,4 + 34,5 + 34,5 + 34,6 + 34,7 + 34,8 + 35,0 + 35,1 = 344,0°
Среднее = 344° / 10 = 34,4°
Размах = 35,1° - 34,2° = 0,9°.
2. Таблица отклонений показаний термометров от среднего значения.
Среднее значение = 34,4°.
Отклонения:
- 34,5° → +0,1°
- 35,1° → +0,7°
- 34,4° → 0°
- 34,2° → -0,2°
- 34,7° → +0,3°
- 34,6° → +0,2°
- 35,0° → +0,6°
- 34,2° → -0,2°
- 34,5° → +0,1°
- 34,8° → +0,4°
Меньше среднего: 3 показания.
Больше среднего: 7 показаний.
Ответ: 3 показания меньше среднего, 7 — больше.
3. Найдите медиану показаний термометров. Сколько показаний больше и сколько меньше медианы?
Сортируем по возрастанию:
34,2; 34,2; 34,4; 34,5; 34,5; 34,6; 34,7; 34,8; 35,0; 35,1.
Медиана = (34,5 + 34,6) / 2 = 34,55° (средние два значения).
Показаний меньше медианы: 4.
Показаний больше медианы: 5.
Ответ: Медиана показаний — 34,55°. 4 показания меньше, 5 показаний больше медианы.
Таким образом, мы разобрали все пункты заданий и получили ответ на вопросы. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь их задавать!
