Вероятность неточной сборки прибора равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 500 приборов окажется не менее 420 точных.
Для решения этой задачи мы можем использовать подход, основанный на биномиальном распределении.
1. **Определим основные параметры:**
- Вероятность того, что прибор собран неточно, \( p = 0,2 \). Следовательно, вероятность того, что прибор собран точно, \( q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8 \).
- Общее количество приборов \( n = 500 \).
- Мы ищем вероятность того, что среди 500 приборов окажется не менее 420 точных. Это значит, что нам нужно найти вероятность того, что число точных сборок \( k \geq 420 \).
2. **Формулировка задачи:**
- Мы ищем \( P(X \geq 420) \), где \( X \) — это число точно собранных приборов.
- Можно выразить это как \( P(X \geq 420) = 1 - P(X < 420) \).
3. **Приближение к нормальному распределению:**
- Учитывая большое количество испытаний (500), мы можем использовать нормальное приближение к биномиальному распределению. Для этого найдем параметры нормального распределения:
- Среднее \( \mu = n \cdot q = 500 \cdot 0,8 = 400 \).
- Стандартное отклонение \( \sigma = \sqrt{n \cdot q \cdot (1 - q)} = \sqrt{500 \cdot 0,8 \cdot 0,2} = \sqrt{80} \approx 8,944 \).
4. **Стандартизация:**
- Приведем 420 к стандартной нормальной форме:
\[
Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{420 - 400}{8,944} \approx 2,24
\]
5. **Вероятность при помощи таблицы Z:**
- Используем таблицы стандартного нормального распределения, чтобы найти \( P(Z < 2,24) \). Обычно таблицы показывают значение \( P(Z < 2,24) \approx 0,9878 \).
- Поэтому \( P(Z \geq 2,24) = 1 - P(Z < 2,24) = 1 - 0,9878 = 0,0122 \).
6. **Результат:**
- Вероятность того, что среди 500 приборов окажется не менее 420 точных, примерно равна 0,0122.
Таким образом, ответ на задачу - вероятность того, что среди 500 приборов будет не менее 420 точных. Это примерно 1,22%.
