Сколько существует чисел, девятеричная запись которых состоит из шести цифр, не начинается с нечётных цифр, не оканчивается цифрами 2 и 3 и содержит не менее двух цифр 1?

Давайте разберем задачу пошагово. ### Шаг 1: Определение условий задачи 1. **Число должно состоять из шести цифр в девятеричной системе счисления.** В девятеричной системе используются цифры от 0 до 8. 2. **Число не должно начинаться с нечётных цифр.** Чётными цифрами в девятеричной системе являются 0, 2, 4, 6 , 8. Следовательно, первая цифра может быть 0, 2, 4, 6, или 8. 3. **Число не должно заканчиваться на 2 или 3.** Таким образом, последняя цифра может быть 0, 1, 4, 5, 6, 7 или 8. 4. **Число должно содержать не менее двух единиц (цифр 1).** ### Шаг 2: Определение возможных значений для каждой позиции #### Первая цифра (6-я позиция) - Возможные значения: 0, 2, 4, 6, 8 (всего 5 вариантов). #### Последняя цифра (1-я позиция) - Возможные значения: 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8 (всего 7 вариантов). #### Четыре середины (2, 3, 4, 5-я позиции) - Эти позиции могут содержать любую цифру от 0 до 8 (всего 9 вариантов). ### Шаг 3: Нахождение количества комбинаций Обозначим количество комбинаций как \( C \). 1. **Сначала посчитаем общее количество 6-значных чисел, соблюдающих формальные ограничения:** Сначала подберем последовательно цифры, учитывая, что 2 единицы должны присутствовать. Обозначим количество единиц в числе как \( k \) (где \( k \ge 2 \)). #### Случай 1: \( k = 2 \) (т.е. 2 единицы) - Мы можем расположить две единицы в четырех промежуточных позициях. - Для оставшихся двух позиций (из четырех) мы можем выбрать любые 7 цифр (не 1). Число способов расположить 2 единицы в 4 позициях: \[ \binom{4}{2} = 6 \] Оставшиеся 2 позиции могут принимать значения из 7 вариантов, то есть \( 7^2 \). Итак, общее количество для \( k = 2 \): \[ C_2 = 6 \times 7^2 = 6 \times 49 = 294 \] #### Случай 2: \( k = 3 \) (т.е. 3 единицы) Число способов расположить 3 единицы в 4 позициях: \[ \binom{4}{3} = 4 \] Оставшаяся одна позиция может принимать значения из 7 вариантов: \[ C_3 = 4 \times 7^1 = 4 \times 7 = 28 \] #### Случай 3: \( k = 4 \) (т.е. 4 единицы) Число способов расположить 4 единицы в 4 позициях: \[ \binom{4}{4} = 1 \] Здесь мы не можем выбрать ни одной другой цифры, поэтому: \[ C_4 = 1 \times 7^0 = 1 \] ### Шаг 4: Общее количество Теперь нам нужно учесть все случаи: \[ C = C_2 + C_3 + C_4 = 294 + 28 + 1 = 323 \] ### Шаг 5: Учитываем ограничения на первую и последнюю цифры Учитывая, что у нас есть 5 вариантов для первой цифры и 7 вариантов для последней цифры, конечное количество кандидатов можно выразить как: \[ C_{\text{итог}} = 5 \cdot 7 \cdot 323 = 5 \cdot 7 \cdot 323 \] Теперь произведем это умножение: \[ C_{\text{итог}} = 5 \cdot 7 = 35 \] \[ C_{\text{итог}} = 35 \cdot 323 = 11305 \] Таким образом, окончательный ответ — **11 305**. ### Ответ Существует 11 305 чисел, девятеричная запись которых соответствует указанным условиям.