Сколько существует чисел, девятеричная запись которых состоит из шести цифр, не начинается с нечётных цифр, не оканчивается цифрами 2 и 3 и содержит не менее двух цифр 1?

Давайте разберем задачу пошагово.

Шаг 1: Определение условий задачи

1. Число должно состоять из шести цифр в девятеричной системе счисления. В девятеричной системе используются цифры от 0 до 8.
2. Число не должно начинаться с нечётных цифр. Чётными цифрами в девятеричной системе являются 0, 2, 4, 6 , 8. Следовательно, первая цифра может быть 0, 2, 4, 6, или 8.
3. Число не должно заканчиваться на 2 или 3. Таким образом, последняя цифра может быть 0, 1, 4, 5, 6, 7 или 8.
4. Число должно содержать не менее двух единиц (цифр 1).

Шаг 2: Определение возможных значений для каждой позиции

Первая цифра (6-я позиция)

• Возможные значения: 0, 2, 4, 6, 8 (всего 5 вариантов).

Последняя цифра (1-я позиция)

• Возможные значения: 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8 (всего 7 вариантов).

Четыре середины (2, 3, 4, 5-я позиции)

• Эти позиции могут содержать любую цифру от 0 до 8 (всего 9 вариантов).

Шаг 3: Нахождение количества комбинаций

Обозначим количество комбинаций как \( C \).

1. Сначала посчитаем общее количество 6-значных чисел, соблюдающих формальные ограничения:
   Сначала подберем последовательно цифры, учитывая, что 2 единицы должны присутствовать.

Обозначим количество единиц в числе как \( k \) (где \( k \ge 2 \)).

Случай 1: \( k = 2 \) (т.е. 2 единицы)

• Мы можем расположить две единицы в четырех промежуточных позициях.
• Для оставшихся двух позиций (из четырех) мы можем выбрать любые 7 цифр (не 1).

Число способов расположить 2 единицы в 4 позициях:
\[ \binom{4}{2} = 6 \] Оставшиеся 2 позиции могут принимать значения из 7 вариантов, то есть \( 7^2 \).

Итак, общее количество для \( k = 2 \): \[ C_2 = 6 \times 7^2 = 6 \times 49 = 294 \]

Случай 2: \( k = 3 \) (т.е. 3 единицы)

Число способов расположить 3 единицы в 4 позициях:
\[ \binom{4}{3} = 4 \] Оставшаяся одна позиция может принимать значения из 7 вариантов:
\[ C_3 = 4 \times 7^1 = 4 \times 7 = 28 \]

Случай 3: \( k = 4 \) (т.е. 4 единицы)

Число способов расположить 4 единицы в 4 позициях:
\[ \binom{4}{4} = 1 \] Здесь мы не можем выбрать ни одной другой цифры, поэтому:
\[ C_4 = 1 \times 7^0 = 1 \]

Шаг 4: Общее количество

Теперь нам нужно учесть все случаи: \[ C = C_2 + C_3 + C_4 = 294 + 28 + 1 = 323 \]

Шаг 5: Учитываем ограничения на первую и последнюю цифры

Учитывая, что у нас есть 5 вариантов для первой цифры и 7 вариантов для последней цифры, конечное количество кандидатов можно выразить как: \[ C_{\text{итог}} = 5 \cdot 7 \cdot 323 = 5 \cdot 7 \cdot 323 \]

Теперь произведем это умножение: \[ C_{\text{итог}} = 5 \cdot 7 = 35 \] \[ C_{\text{итог}} = 35 \cdot 323 = 11305 \] Таким образом, окончательный ответ — 11 305.

Ответ

Существует 11 305 чисел, девятеричная запись которых соответствует указанным условиям.