Чтобы понять, как описать случайную величину (X) с показательным распределением, начнем с определения плотности вероятности и функции распределения.
Шаг 1: Определение параметра
Показательное распределение задается одним параметром, который обозначает среднее значение (иногда это также называют параметром λ, но в нашем случае мы используем другой подход). Предположим, что (\lambda = \frac{1}{\theta}), где (\theta) — среднее значение данной величины. В нашем случае (\theta = 6), тогда:
[
\lambda = \frac{1}{6}
]
Шаг 2: Плотность вероятности
Плотность вероятности (f(x)) для показательного распределения определяется следующим образом:
[
f(x) =
\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \
0, & x < 0
\end{cases}
]
Подставляем наш (\lambda):
[
f(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{6} e^{-\frac{x}{6}}, & x \geq 0 \
0, & x < 0
\end{cases}
]
Шаг 3: Функция распределения
Функция распределения (F(x)) для показательного распределения вычисляется как интеграл плотности вероятности:
[
F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt
]
Подставляем найденную плотность:
[
F(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{6} e^{-\frac{t}{6}} dt
]
Это интеграл, который мы можем решить следующим образом:
[
F(x) = -e^{-\frac{t}{6}} \bigg|_{0}^{x} = -e^{-\frac{x}{6}} + 1
]
Таким образом, получаем:
[
F(x) =
\begin{cases}
1 - e^{-\frac{x}{6}}, & x \geq 0 \
0, & x < 0
\end{cases}
]
Итоги
Теперь у нас есть четкие выражения для плотности вероятности и функции распределения:
Плотность вероятности:
[
f(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{6} e^{-\frac{x}{6}}, & x \geq 0 \
0, & x < 0
\end{cases}
]
Функция распределения:
[
F(x) =
\begin{cases}
1 - e^{-\frac{x}{6}}, & x \geq 0 \
0, & x < 0
\end{cases}
]
Если что-то осталось непонятным или у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
