Случайная величина Х имеет показательное распределение с параметром 2=6. Написать плотность и функцию распределения этого закона.

Чтобы понять, как описать случайную величину \(X\) с показательным распределением, начнем с определения плотности вероятности и функции распределения.

Шаг 1: Определение параметра

Показательное распределение задается одним параметром, который обозначает среднее значение (иногда это также называют параметром λ, но в нашем случае мы используем другой подход). Предположим, что \(\lambda = \frac{1}{\theta}\), где \(\theta\) — среднее значение данной величины. В нашем случае \(\theta = 6\), тогда:

\[ \lambda = \frac{1}{6} \]

Шаг 2: Плотность вероятности

Плотность вероятности \(f(x)\) для показательного распределения определяется следующим образом:

\[ f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} \]

Подставляем наш \(\lambda\):

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{6} e^{-\frac{x}{6}}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} \]

Шаг 3: Функция распределения

Функция распределения \(F(x)\) для показательного распределения вычисляется как интеграл плотности вероятности:

\[ F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt \]

Подставляем найденную плотность:

\[ F(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{6} e^{-\frac{t}{6}} dt \]

Это интеграл, который мы можем решить следующим образом:

\[ F(x) = -e^{-\frac{t}{6}} \bigg|_{0}^{x} = -e^{-\frac{x}{6}} + 1 \]

Таким образом, получаем:

\[ F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\frac{x}{6}}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} \]

Итоги

Теперь у нас есть четкие выражения для плотности вероятности и функции распределения:

• Плотность вероятности: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{6} e^{-\frac{x}{6}}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} \]

• Функция распределения: \[ F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\frac{x}{6}}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} \]

Если что-то осталось непонятным или у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!