Давайте подробно разберём каждую задачу.
Задача 1:
Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если катеты равны 5 см и 12 см.
Для нахождения гипотенузы (c) в прямоугольном треугольнике используется теорема Пифагора:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
где (a) и (b) — это длины катетов.
Подставим значения:
[
c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169
]
Теперь извлекаем корень из обеих сторон:
[
c = \sqrt{169} = 13 \text{ см}
]
Ответ: Гипотенуза равна 13 см.
Задача 2:
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 см, а его основание - 8 см. Найдите высоту этого треугольника, проведённую к основанию.
Для выполнения этой задачи можно использовать теорему Пифагора. Разделим треугольник высотой на два равных прямоугольных треугольника, где:
- одна из высот является катетом,
- половина основания (4 см) — второй катет,
- боковая сторона (5 см) — гипотенуза.
Обозначим высоту за (h). Тогда по теореме Пифагора:
[
h^2 + 4^2 = 5^2
]
Подставим значения:
[
h^2 + 16 = 25
]
[
h^2 = 25 - 16 = 9
]
[
h = \sqrt{9} = 3 \text{ см}
]
Ответ: Высота равна 3 см.
Задача 3:
Стороны треугольника равны 29 см, 25 см и 6 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне.
Здесь меньшая сторона равна 6 см. Для нахождения высоты (h) воспользуемся формулой через площадь треугольника.
Сначала вычислим полупериметр (s):
[
s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{29 + 25 + 6}{2} = 30
]
Теперь найдём площадь (S) по формуле Герона:
[
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{30(30-29)(30-25)(30-6)} = \sqrt{30 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 24}
]
[
S = \sqrt{30 \cdot 120} = \sqrt{3600} = 60 \text{ см}^2
]
Теперь можем найти высоту (h):
[
S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times h \Rightarrow 60 = \frac{1}{2} \times 6 \times h
]
[
60 = 3h \Rightarrow h = \frac{60}{3} = 20 \text{ см}
]
Ответ: Высота равна 20 см.
Задача 4:
Сторона ромба равна 13 см, а одна из диагоналей - 24 см. Найдите площадь ромба.
Площадь ромба можно вычислить по формуле:
[
S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}
]
где (d_1) и (d_2) — длины диагоналей. Найдём вторую диагональ (d_2) с помощью теоремы Пифагора.
Стороны ромба равны и могут быть выражены через диагонали:
[
s^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2
]
Подставим значения:
[
13^2 = \left(\frac{24}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2
]
[
169 = 12^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2
]
[
169 = 144 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2
]
[
\left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 169 - 144 = 25
]
[
\frac{d_2}{2} = 5 \Rightarrow d_2 = 10 \text{ см}
]
Теперь вычислим площадь:
[
S = \frac{24 \cdot 10}{2} = 120 \text{ см}^2
]
Ответ: Площадь ромба равна 120 см².
Второй вариант
Задача 1:
В прямоугольном треугольнике один катет равен 15 см, гипотенуза 17 см. Найдите другой катет.
Используем теорему Пифагора:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
где (c) - гипотенуза, (a = 15) см, (b) - другой катет.
Подставим:
[
17^2 = 15^2 + b^2
]
[
289 = 225 + b^2
]
[
b^2 = 289 - 225 = 64
]
[
b = \sqrt{64} = 8 \text{ см}
]
Ответ: Другой катет равен 8 см.
Задача 2:
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 29 см, а высота, проведённая к основанию, равна 21 см. Чему равно основание треугольника?
Для поиска основания (b) можно снова воспользоваться теоремой Пифагора. Половина основания (b/2) и высота (h) образуют прямоугольный треугольник с боковой стороной (a = 29).
[
29^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + 21^2
]
[
841 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + 441
]
[
\left(\frac{b}{2}\right)^2 = 841 - 441 = 400
]
[
\frac{b}{2} = \sqrt{400} = 20 \Rightarrow b = 40 \text{ см}
]
Ответ: Основание равно 40 см.
Задача 3:
Стороны треугольника равны 36 см, 25 см и 29 см. Найдите высоту, проведенную к большей стороне.
Наибольшая сторона — 36 см. Сначала найдем площадь по формуле Герона.
Полупериметр:
[
s = \frac{36 + 25 + 29}{2} = 45
]
Площадь:
[
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{45(45-36)(45-25)(45-29)}
]
[
= \sqrt{45 \cdot 9 \cdot 20 \cdot 16} = \sqrt{14400} = 120 \text{ см}^2
]
Теперь найдём высоту (h):
[
S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot h \Rightarrow 120 = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot h
]
[
120 = 18h \Rightarrow h = \frac{120}{18} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \text{ см}
]
Ответ: Высота равна ( \frac{20}{3} ) см, примерно 6.67 см.
Задача 4:
Диагонали ромба равны 30 см и 40 см. Вычислите периметр ромба.
Периметр ромба вычисляется по формуле:
[
P = 4a
]
где (a) — сторона ромба. Сначала найдём сторону через диагонали:
[
d_1 = 30 \text{ см}, d_2 = 40 \text{ см}
]
Сторона ромба:
[
a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}
]
[
= \sqrt{\left(\frac{30}{2}\right)^2 + \left(\frac{40}{2}\right)^2} = \sqrt{15^2 + 20^2}
]
[
= \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \text{ см}
]
Теперь вычисляем периметр:
[
P = 4 \cdot 25 = 100 \text{ см}
]
Ответ: Периметр ромба равен 100 см.
Таким образом, мы успешно решили все задачи с необходимыми объяснениями. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать!
