Чтобы решить задачу, найдем седьмой член и сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, где первый член ( b_1 = -\frac{3}{4} ) и знаменатель прогрессии ( q = -1 ).
Шаг 1: Найдите седьмой член геометрической прогрессии
Формула для ( n )-го члена геометрической прогрессии выглядит так:
[
b_n = b_1 \cdot q^{n-1}
]
Теперь подставим значения:
- ( b_1 = -\frac{3}{4} )
- ( q = -1 )
- Для ( n = 7 ):
[
b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = -\frac{3}{4} \cdot (-1)^{6}
]
Так как ( (-1)^{6} = 1 ), получаем:
[
b_7 = -\frac{3}{4} \cdot 1 = -\frac{3}{4}
]
Ответ на Шаге 1:
Седьмой член ( b_7 = -\frac{3}{4} ).
Шаг 2: Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии
Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
[
S_n = \frac{b_1 \cdot (1 - q^n)}{1 - q}
]
Для ( n = 5 ):
[
S_5 = \frac{b_1 \cdot (1 - q^5)}{1 - q}
]
Подставим значения:
- ( b_1 = -\frac{3}{4} )
- ( q = -1 )
Теперь сначала найдем ( q^5 ):
[
q^5 = (-1)^5 = -1
]
Теперь подставим в формулу:
[
S_5 = \frac{-\frac{3}{4} \cdot (1 - (-1))}{1 - (-1)} = \frac{-\frac{3}{4} \cdot (1 + 1)}{1 + 1} = \frac{-\frac{3}{4} \cdot 2}{2}
]
Упрощаем:
[
S_5 = \frac{-\frac{3 \cdot 2}{4}}{2} = \frac{-\frac{6}{4}}{2} = \frac{-\frac{3}{2}}{2} = -\frac{3}{4}
]
Ответ на Шаге 2:
Сумма первых пяти членов ( S_5 = -\frac{3}{4} ).
Итог:
- Седьмой член ( b_7 = -\frac{3}{4} )
- Сумма первых пяти членов ( S_5 = -\frac{3}{4} )
