Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным
Чтобы решить задачу о зависимости поступления налогов от ставки налога, начнем с определения необходимых параметров и построения модели этой зависимости.
Шаг 1: Определение функции зависимости
Из условия задачи нам известно, что зависимость поступлений \( P \) в бюджет (в миллиардах фантиков) является квадратичной функцией от ставки налога \( x \) (в процентах). Мы можем записать это в виде:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( a \), \( b \) и \( c \) — коэффициенты, которые нужно определить.
Шаг 2: Составление системы уравнений
Исходя из информации, приведенной в задаче, у нас есть следующие данные:
- При \( x = 10\% \), \( P(10) = 1.3 \) млрд.
- При \( x = 33\% \), \( P(33) = 1.3 \) млрд.
- При \( x = 27\% \), \( P(27) = 1.6 \) млрд.
Подставим эти значения в нашу квадратичную функцию.
Для \( x = 10 \): \[ P(10) = a(10^2) + b(10) + c = 1.3 \quad \Rightarrow \quad 100a + 10b + c = 1.3 \]
Для \( x = 33 \): \[ P(33) = a(33^2) + b(33) + c = 1.3 \quad \Rightarrow \quad 1089a + 33b + c = 1.3 \]
Для \( x = 27 \): \[ P(27) = a(27^2) + b(27) + c = 1.6 \quad \Rightarrow \quad 729a + 27b + c = 1.6 \]
Шаг 3: Система уравнений
Теперь у нас есть система из трех уравнений:
- \( 100a + 10b + c = 1.3 \) (1)
- \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) (2)
- \( 729a + 27b + c = 1.6 \) (3)
Шаг 4: Исключение \( c \)
Мы можем выразить \( c \) из (1):
\[ c = 1.3 - 100a - 10b \]
Теперь подставим \( c \) в (2) и (3):
Из (2): \[ 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.3 \\ 1089a + 33b - 100a - 10b = 0 \\ 989a + 23b = 0 \quad \Rightarrow \quad 23b = -989a \quad \Rightarrow \quad b = -\frac{989}{23}a \]
Из (3): \[ 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.6 \\ 729a + 27b - 100a - 10b = 0 \\ 629a + 17b = 0 \quad \Rightarrow \quad 17b = -629a \quad \Rightarrow \quad b = -\frac{629}{17}a \]
Шаг 5: Решение для коэффициентов \( a \) и \( b \)
Теперь у нас есть два выражения для \( b \):
- \( b = -\frac{989}{23}a \)
- \( b = -\frac{629}{17}a \)
Сравняем их, и решим систему. Подставляя \( b \) из первого уравнения во второе:
\[ -\frac{989}{23}a = -\frac{629}{17}a \]
Так как у нас один коэффициент фактически на \( a \), мы можем найти \( a \).
Шаг 6: Находим максимальную ставку налога
Формула для максимума квадратичной функции \( P(x) = ax^2 + bx + c \) находится по формуле:
\[ x_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} \]
По найденным значениям \( a \) и \( b \), можно подставить в эту формулу, чтобы определить, при какой ставке наблюдается максимальное поступление в бюджет.
Заключение
Когда вы решите систему уравнений, подставите значения \( a \) и \( b \) в формулу для нахождения максимума, и вы получите ставку налога, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет. Если понадобится, я могу помочь с более глубоким решением системы и получите конкретные значения для \( a \), \( b \) и максимальную ставку налога.
