Реши пример

Давайте разберем представленный пример. На фото виден фрагмент задачи:

\[ 8 \sin (x) - 4 \sqrt{3} \cos(x) = 2 \]

Для решения этого уравнения, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Преобразование уравнения

Это тригонометрическое уравнение. Мы можем использовать метод приведения к форме \( R \sin(x + \alpha) \).

Шаг 2: Представим в виде тождества

Уравнение имеет вид:

\[ a \sin(x) + b \cos(x) = c \]

где \( a = 8 \), \( b = -4\sqrt{3} \), и \( c = 2 \).

Шаг 3: Поиск \( R \) и угла \( \alpha \)

Форма представляется как:

\[ R \sin(x + \alpha) = c \]

где \( R = \sqrt{a^2 + b^2} \).

Посчитаем \( R \):

\[ R = \sqrt{8^2 + (-4\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 48} = \sqrt{112} = 4\sqrt{7} \]

Шаг 4: Вычисление угла \( \alpha \)

Используем формулы:

\[ \cos(\alpha) = \frac{a}{R} = \frac{8}{4\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}} \] \[ \sin(\alpha) = \frac{b}{R} = \frac{-4\sqrt{3}}{4\sqrt{7}} = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \]

Шаг 5: Решение уравнения

Теперь уравнение примет вид:

\[ 4\sqrt{7} \sin(x + \alpha) = 2 \]

Разделим обе части на \( 4\sqrt{7} \):

\[ \sin(x + \alpha) = \frac{2}{4\sqrt{7}} = \frac{1}{2\sqrt{7}} \]

Чтобы решить уравнение \( \sin(y) = k \), где \( y = x + \alpha\), используем обратную функцию синуса:

\[ y = \arcsin\left(\frac{1}{2\sqrt{7}}\right) + 2\pi n \] \[ y = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{2\sqrt{7}}\right) + 2\pi n \]

где \( n \) — любое целое число. Далее выражаем \( x \):

\[ x = y - \alpha \]

Это будет общим решением уравнения.

Итог

Таким образом, решение уравнения сведется к:

\[ x = \arcsin\left(\frac{1}{2\sqrt{7}}\right) - \alpha + 2\pi n \] \[ x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{2\sqrt{7}}\right) - \alpha + 2\pi n \]

где \( n \) — любое целое число и \(\alpha\) найдено через арккосинус и арксинос учитывая знаки.