Найдите площадь прямоугольного треугольника АВС, если «C-90°, <A=30°, гипотенуза АВ=14 см, катет АС= 12 см. 3. В
Для нахождения площади прямоугольного треугольника можно использовать формулу:
\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \]
где \( a \) и \( b \) — длины катетов треугольника.
В нашем случае прямоугольный треугольник ABC имеет угол C равный 90°, угол A равный 30°, а гипотенуза AB составляет 14 см.
Сначала убедимся, что у нас есть длины обеих сторон:
- Длина катета AC нам известна — 12 см.
- Найдем длину катета BC. Поскольку угол A равен 30°, мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника и тригонометрические функции:
Используем синус и косинус:
- \(\sin(A) = \frac{AC}{AB}\)
- \(\cos(A) = \frac{BC}{AB}\)
Исходя из этого, можем выразить BC:
\[ \sin(30^\circ) = \frac{AC}{AB} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{12}{14} \Rightarrow 12 = 7 \Rightarrow \text{это не совпадает, поэтому нужно дальнейшую расчет.} \]
Для нахождения BC, также знаем что:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
Тогда:
\[ 14^2 = 12^2 + BC^2 \]
\[ 196 = 144 + BC^2 \]
\[ BC^2 = 196 - 144 = 52 \]
\[ BC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]
Теперь мы можем найти площадь треугольника ABC:
\[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BC \]
Теперь подставим значения:
\[ S = \frac{1}{2} \times 12 \times 2\sqrt{13} = 12\sqrt{13} \, \text{см}^2 \]
Таким образом, площадь треугольника ABC составляет \( 12\sqrt{13} \) см².
