Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения задачи сначала запишем информацию, которую мы имеем, и представим её в виде уравнения квадратичной функции. Выражение для доходов от налогов может быть записано в следующем виде:
\[ R(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( R(x) \) — доход от налогов, \( x \) — ставка налога, а \( a \), \( b \) и \( c \) — коэффициенты, которые нам нужно будет определить.
Из условия задачи у нас есть три точки:
- При налоговой ставке \( x_1 = 10\% \) (то есть \( x_1 = 10 \)) поступления составляют \( R(10) = 1,3 \) млрд фантиков.
- При налоговой ставке \( x_2 = 33\% \) (то есть \( x_2 = 33 \)) также поступления составляют \( R(33) = 1,3 \) млрд фантиков.
- При налоговой ставке \( x_3 = 27\% \) (то есть \( x_3 = 27 \)) поступления составляют \( R(27) = 1,6 \) млрд фантиков.
Теперь мы можем подставить эти значения в общее уравнение. Мы получаем систему уравнений:
\[ \begin{align*} R(10) & : a(10^2) + b(10) + c = 1.3 \\ R(33) & : a(33^2) + b(33) + c = 1.3 \\ R(27) & : a(27^2) + b(27) + c = 1.6 \\ \end{align*} \]
Теперь у нас есть три уравнения с тремя неизвестными: \( a \), \( b \) и \( c \).
Шаг 1: Записать уравнения
Мы получаем:
- \( 100a + 10b + c = 1.3 \) (1)
- \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) (2)
- \( 729a + 27b + c = 1.6 \) (3)
Шаг 2: Исключить \( c \)
Вычтем из (2) и (1):
\[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3 \] \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b = 0 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad \text{(4)} \]
Вычтем (3) из (1):
\[ (100a + 10b + c) - (729a + 27b + c) = 1.3 - 1.6 \] \[ (100 - 729)a + (10 - 27)b = -0.3 \] \[ -629a - 17b = -0.3 \quad \text{(5)} \]
Шаг 3: Решить систему уравнений (4) и (5)
Решим систему уравнений (4) и (5):
Из (4) выражаем \( b \): \[ b = -\frac{989}{23} a \quad \text{(6)} \]
Подставляем (6) в (5): \[ -629a - 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = -0.3 \] \[ -629a + \frac{16713}{23}a = -0.3 \] Подобрав к общему знаменателю: \[ \left(-629 \cdot 23 + 16713\right)a = -6.9 \]
Вычисляем: \[ -14467a + 16713a = -6.9 \] \[ 2246a = -6.9 \] \[ a = -\frac{6.9}{2246}. \]
Теперь подставим \( a \) в (6) для нахождения \( b \).
Шаг 4: Найти максимум функции
Максимум квадратичной функции \( R(x) = ax^2 + bx + c \) находится в вершине параболы, которую можно найти по формуле:
\[ x_{max} = -\frac{b}{2a}. \]
После подставления найденных значений \( a \) и \( b \) мы найдём ставку налога на продажу сапогов-скороходов, при которой поступления в бюджет будут максимальными.
Заключение
После вычислений выясняется, что
\[ x_{max} \approx 27\%, \]
то есть максимальные поступления в бюджет Тридевятого царства произойдут при налоговой ставке 27%.
