Е(4;12), F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Найти: а) координаты векторов EF,GH б) длину вектора FG в) координаты точки О – середины EF координаты точки W – середины GH г) OW; EH д)…

Давайте решим вашу задачу, шаг за шагом.

Дано:

• Точки:
  • \(E(4;12)\)
  • \(F(-4;-10)\)
  • \(G(-2;6)\)
  • \(H(4;-2)\)

а) Координаты векторов EF и GH

Вектор EF:
Координаты вектора можно найти как разность координат конечной точки и начальной точки.

\[ \vec{EF} = F - E = (-4 - 4; -10 - 12) = (-8; -22) \]

Вектор GH:
Аналогично находим вектор GH.

\[ \vec{GH} = H - G = (4 - (-2); -2 - 6) = (6; -8) \]

Таким образом:

• Координаты вектора EF: \((-8; -22)\)
• Координаты вектора GH: \((6; -8)\)

б) Длина вектора FG

Чтобы найти длину вектора, используем формулу:

\[ |\vec{FG}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

где \(F(-4;-10)\) и \(G(-2;6)\).

Подставляем значения:

\[ |\vec{FG}| = \sqrt{((-2) - (-4))^2 + (6 - (-10))^2} = \sqrt{(2)^2 + (16)^2} = \sqrt{4 + 256} = \sqrt{260} \approx 16.12 \]

в) Координаты точки O – середины отрезка EF

Середина отрезка определяется как:

\[ O\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \]

где точки \(E(4;12)\) и \(F(-4;-10)\).

Подставляем значения:

\[ O\left(\frac{4 + (-4)}{2}; \frac{12 + (-10)}{2}\right) = O(0; 1) \]

Координаты точки W – середины отрезка GH

Аналогично находим середину GH:

\[ W\left(\frac{-2 + 4}{2}; \frac{6 + (-2)}{2}\right) = W(1; 2) \]

г) Длина отрезка OW и EH

Длина отрезка OW:

Используя формулу:

\[ |\vec{OW}| = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1.41 \]

Длина отрезка EH:

\[ |\vec{EH}| = \sqrt{(4 - 4)^2 + (-2 - 12)^2} = \sqrt{0 + (-14)^2} = \sqrt{196} = 14 \]

д) Уравнение окружности с диаметром FG

Центр окружности \(C\) находится в середине отрезка FG:

\[ C\left(\frac{-4 + (-2)}{2}; \frac{-10 + 6}{2}\right) = C\left(-3; -2\right) \]

Длина радиуса \(R\) равна половине длины FG:

\[ R = \frac{|\vec{FG}|}{2} = \frac{\sqrt{260}}{2} = \frac{\sqrt{260}}{2} \approx 8.06 \]

Уравнение окружности:

\[ (x + 3)^2 + (y + 2)^2 = R^2 \] Подставим \(R^2\):

\[ (x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 260/4 = 65 \]

е) Уравнение прямой FH

Уравнение прямой можно найти, используя две точки. Сначала находим угол наклона \(k\):

\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - (-10)}{4 - (-4)} = \frac{8}{8} = 1 \]

Используем точку \(F\) для уравнения прямой (в форме \(y - y_1 = k(x - x_1)\)):

\[ y - (-10) = 1(x - (-4)) \\ y + 10 = x + 4 \\ y = x - 6 \]

Ответы:

а) \(\vec{EF} = (-8; -22), \; \vec{GH} = (6; -8)\)
б) Длина вектора FG: \(\sqrt{260} \approx 16.12\)
в) \(O(0; 1), \; W(1; 2)\)
г) Длина OW: \(\sqrt{2} \approx 1.41, \; \text{EH} = 14\)
д) Уравнение окружности: \((x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 65\)
е) Уравнение прямой FH: \(y = x - 6\)

Если есть дополнительные вопросы или нужны разъяснения, дайте знать!