Давайте решим вашу задачу, шаг за шагом.
Дано:
- Точки:
- (E(4;12))
- (F(-4;-10))
- (G(-2;6))
- (H(4;-2))
а) Координаты векторов EF и GH
Вектор EF:
Координаты вектора можно найти как разность координат конечной точки и начальной точки.
[
\vec{EF} = F - E = (-4 - 4; -10 - 12) = (-8; -22)
]
Вектор GH:
Аналогично находим вектор GH.
[
\vec{GH} = H - G = (4 - (-2); -2 - 6) = (6; -8)
]
Таким образом:
- Координаты вектора EF: ((-8; -22))
- Координаты вектора GH: ((6; -8))
б) Длина вектора FG
Чтобы найти длину вектора, используем формулу:
[
|\vec{FG}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
]
где (F(-4;-10)) и (G(-2;6)).
Подставляем значения:
[
|\vec{FG}| = \sqrt{((-2) - (-4))^2 + (6 - (-10))^2} = \sqrt{(2)^2 + (16)^2} = \sqrt{4 + 256} = \sqrt{260} \approx 16.12
]
в) Координаты точки O – середины отрезка EF
Середина отрезка определяется как:
[
O\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
]
где точки (E(4;12)) и (F(-4;-10)).
Подставляем значения:
[
O\left(\frac{4 + (-4)}{2}; \frac{12 + (-10)}{2}\right) = O(0; 1)
]
Координаты точки W – середины отрезка GH
Аналогично находим середину GH:
[
W\left(\frac{-2 + 4}{2}; \frac{6 + (-2)}{2}\right) = W(1; 2)
]
г) Длина отрезка OW и EH
Длина отрезка OW:
Используя формулу:
[
|\vec{OW}| = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1.41
]
Длина отрезка EH:
[
|\vec{EH}| = \sqrt{(4 - 4)^2 + (-2 - 12)^2} = \sqrt{0 + (-14)^2} = \sqrt{196} = 14
]
д) Уравнение окружности с диаметром FG
Центр окружности (C) находится в середине отрезка FG:
[
C\left(\frac{-4 + (-2)}{2}; \frac{-10 + 6}{2}\right) = C\left(-3; -2\right)
]
Длина радиуса (R) равна половине длины FG:
[
R = \frac{|\vec{FG}|}{2} = \frac{\sqrt{260}}{2} = \frac{\sqrt{260}}{2} \approx 8.06
]
Уравнение окружности:
[
(x + 3)^2 + (y + 2)^2 = R^2
]
Подставим (R^2):
[
(x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 260/4 = 65
]
е) Уравнение прямой FH
Уравнение прямой можно найти, используя две точки. Сначала находим угол наклона (k):
[
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - (-10)}{4 - (-4)} = \frac{8}{8} = 1
]
Используем точку (F) для уравнения прямой (в форме (y - y_1 = k(x - x_1))):
[
y - (-10) = 1(x - (-4)) \
y + 10 = x + 4 \
y = x - 6
]
Ответы:
а) (\vec{EF} = (-8; -22), ; \vec{GH} = (6; -8))
б) Длина вектора FG: (\sqrt{260} \approx 16.12)
в) (O(0; 1), ; W(1; 2))
г) Длина OW: (\sqrt{2} \approx 1.41, ; \text{EH} = 14)
д) Уравнение окружности: ((x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 65)
е) Уравнение прямой FH: (y = x - 6)
Если есть дополнительные вопросы или нужны разъяснения, дайте знать!
