В треугольнике АБС С(1;2), Б(5;4), проведены медианы СМ и АН, ричём М(4;1). найдите 1) координаты точки Н 2) координаты вершины А 4) длину МС 4) длину АН

Решим задачу о треугольнике ABC с заданными координатами и медианами. Давайте поэтапно определим необходимые параметры. ### Даны: - Точка C: \( C(1; 2) \) - Точка B: \( B(5; 4) \) - Точка M (средняя точка отрезка AB): \( M(4; 1) \) ### 1) Находим координаты точки H Точка H — это вершина A, которую мы не знаем. Поскольку M — середина отрезка AB, можем записать уравнения для определения координат точки A. Сначала воспользуемся формулой для нахождения координат середины отрезка. Если \( A(x_A, y_A) \) — координаты вершины A, тогда координаты точки M можно выразить следующим образом: \[ M_x = \frac{x_A + x_B}{2} \quad \text{и} \quad M_y = \frac{y_A + y_B}{2} \] ### Подставим известные координаты: 1. \( M_x = 4 \) и \( B_x = 5 \): \[ 4 = \frac{x_A + 5}{2} \] Умножим обе стороны на 2: \[ 8 = x_A + 5 \quad \Rightarrow \quad x_A = 3 \] 2. \( M_y = 1 \) и \( B_y = 4 \): \[ 1 = \frac{y_A + 4}{2} \] Умножим обе стороны на 2: \[ 2 = y_A + 4 \quad \Rightarrow \quad y_A = -2 \] Таким образом, координаты точки A равны \( A(3; -2) \). ### 2) Находим координаты точки H Теперь определим координаты точки H, которая является средним значением отрезка BC и C. Соответственно: \[ H_x = \frac{x_B + x_C}{2} \quad \text{и} \quad H_y = \frac{y_B + y_C}{2} \] Подставим известные координаты: 1. \( C(1; 2) \) и \( B(5; 4) \): \[ H_x = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ H_y = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] Таким образом, координаты точки H равны \( H(3; 3) \). ### 3) Находим длину отрезка MC Теперь найдем длину отрезка MC. Для этого воспользуемся формулой для вычисления расстояния между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \): \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Подставляем координаты точек M \( (4, 1) \) и C \( (1, 2) \): \[ MC = \sqrt{(1 - 4)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3.16 \] ### 4) Находим длину отрезка AH Теперь рассчитаем длину отрезка AH, используя координаты точки A (\(3; -2\)) и точки H (\(3; 3\)): \[ AH = \sqrt{(3 - 3)^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + (3 + 2)^2} = \sqrt{25} = 5 \] ### Ответ 1) Координаты точки H: \( H(3; 3) \) 2) Координаты вершины A: \( A(3; -2) \) 3) Длина отрезка MC: \( \sqrt{10} \) (примерно 3.16) 4) Длина отрезка AH: \( 5 \)