A(1;1), B(4;2), C(5;5), D(2;4).Доказать, что ABCD – параллелограмм.

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нам нужно показать, что противоположные стороны равны или что одна пара сторон параллельна другой.

1. Сначала найдем длины сторон.

   Для нахождения длины отрезка между двумя точками можно использовать формулу расстояния: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

   Вычислим длины сторон:

   • Длина стороны AB:

     • A(1, 1) и B(4, 2): \[ AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(3)^2 + (1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \]

   • Длина стороны BC:

     • B(4, 2) и C(5, 5): \[ BC = \sqrt{(5 - 4)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{(1)^2 + (3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \]

   • Длина стороны CD:

     • C(5, 5) и D(2, 4): \[ CD = \sqrt{(2 - 5)^2 + (4 - 5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \]

   • Длина стороны DA:

     • D(2, 4) и A(1, 1): \[ DA = \sqrt{(1 - 2)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \]

2. Сравнение длин сторон:

   • Мы нашли, что:
     • \( AB = \sqrt{10} \)
     • \( BC = \sqrt{10} \)
     • \( CD = \sqrt{10} \)
     • \( DA = \sqrt{10} \)

   Поскольку \( AB = CD \) и \( BC = DA \), у нас есть две пары равных сторон.

3. Вывод: Если в четырехугольнике две стороны равны и две другие стороны равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что ABCD является параллелограммом.