Даны векторы m→(−2;14) и n→(1;7) . Найди косинус угла между векторами

Чтобы найти косинус угла между двумя векторами, можно воспользоваться формулой:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}}{||\mathbf{m}|| \cdot ||\mathbf{n}||} \]

где:

• \(\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}\) — скалярное произведение векторов \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{n}\);
• \(||\mathbf{m}||\) и \(||\mathbf{n}||\) — длины (нормы) векторов \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{n}\);
• \(\theta\) — угол между векторами.

Давайте шаг за шагом решим вашу задачу:

Шаг 1: Найдем скалярное произведение векторов \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{n}\)

Векторы: \[ \mathbf{m} = (-2; 14) \] \[ \mathbf{n} = (1; 7) \]

Скалярное произведение вычисляется по формуле: \[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = m_1 \cdot n_1 + m_2 \cdot n_2 \] где \(m_1\) и \(m_2\) — координаты вектора \(\mathbf{m}\), а \(n_1\) и \(n_2\) — координаты вектора \(\mathbf{n}\).

Подставим значения: \[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = (-2) \cdot 1 + 14 \cdot 7 \] \[ = -2 + 98 = 96 \]

Шаг 2: Найдем длины векторов \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{n}\)

Длина вектора \(||\mathbf{m}||\) вычисляется по формуле: \[ ||\mathbf{m}|| = \sqrt{m_1^2 + m_2^2} \] Подставим \(m_1\) и \(m_2\): \[ ||\mathbf{m}|| = \sqrt{(-2)^2 + 14^2} = \sqrt{4 + 196} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \]

Теперь найдем длину вектора \(||\mathbf{n}||\): \[ ||\mathbf{n}|| = \sqrt{n_1^2 + n_2^2} \] Подставим \(n_1\) и \(n_2\): \[ ||\mathbf{n}|| = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

Шаг 3: Подставим значения в формулу для косинуса угла

Теперь, используя найденные значения, подставим их в формулу косинуса угла: \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}}{||\mathbf{m}|| \cdot ||\mathbf{n}||} = \frac{96}{(10\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{2})} \] Упростим знаменатель: \[ ||\mathbf{m}|| \cdot ||\mathbf{n}|| = 10\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 50 \cdot 2 = 100 \] Теперь подставим в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{96}{100} = 0.96 \]

Ответ:

Косинус угла между векторами \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{n}\) равен \(0.96\).

Если у вас есть дополнительные вопросы по данной задаче, не стесняйтесь спрашивать!