А1. Решите систему уравнений: а) { y= 2x+5, 2х+3y=31; б) { 5х-7у= -24, х= -3у+4; в) { 2х+5у=-8 2х+3у=-4 г) { -3х+7у=29 6х+5у=13 д) { 3х+7у=-5 5х+4у=7 В1. Решите систему уравнений:…

Решим каждую из указанных систем уравнений шаг за шагом.

Система А1

а)

Система уравнений:

1. \( y = 2x + 5 \)
2. \( 2x + 3y = 31 \)

Шаг 1: Подставим первое уравнение во второе.
Заменим \( y \) на \( 2x + 5 \) в уравнении 2:

\[ 2x + 3(2x + 5) = 31 \]

Шаг 2: Раскроем скобки:

\[ 2x + 6x + 15 = 31 \]

Шаг 3: Соберем все \( x \):

\[ 8x + 15 = 31 \]

Шаг 4: Переносим 15 на правую сторону:

\[ 8x = 16 \]

Шаг 5: Делим обе стороны на 8:

\[ x = 2 \]

Шаг 6: Найдем \( y \) подставив значение \( x \) в первое уравнение:

\[ y = 2(2) + 5 = 9 \]

Ответ: \( x = 2, \, y = 9 \)

---

б)

Система уравнений:

1. \( 5x - 7y = -24 \)
2. \( x = -3y + 4 \)

Шаг 1: Подставим \( x \) из второго уравнения в первое:

\[ 5(-3y + 4) - 7y = -24 \]

Шаг 2: Раскроем скобки:

\[ -15y + 20 - 7y = -24 \]

Шаг 3: Соберем все \( y \):

\[ -22y + 20 = -24 \]

Шаг 4: Переносим 20 на правую:

\[ -22y = -44 \]

Шаг 5: Делим обе стороны на -22:

\[ y = 2 \]

Шаг 6: Теперь найдем \( x \):

\[ x = -3(2) + 4 = -6 + 4 = -2 \]

Ответ: \( x = -2, \, y = 2 \)

---

в)

Система уравнений:

1. \( 2x + 5y = -8 \)
2. \( 2x + 3y = -4 \)

Шаг 1: Выразим \( 2x \) из первого уравнения:

\[ 2x = -8 - 5y \]

Шаг 2: Подставим \( 2x \) во второе уравнение:

\[ -8 - 5y + 3y = -4 \]

Шаг 3: Соберем все \( y \):

\[ -8 - 2y = -4 \]

Шаг 4: Переносим -8 на правую:

\[ -2y = 4 \]

Шаг 5: Делим обе стороны на -2:

\[ y = -2 \]

Шаг 6: Находим \( x \):

\[ 2x + 5(-2) = -8 \\ 2x - 10 = -8 \\ 2x = 2 \\ x = 1 \]

Ответ: \( x = 1, \, y = -2 \)

---

г)

Система уравнений:

1. \( -3x + 7y = 29 \)
2. \( 6x + 5y = 13 \)

Шаг 1: Выразим \( y \) из первого уравнения:

\[ 7y = 3x + 29 \\ y = \frac{3x + 29}{7} \]

Шаг 2: Подставим это во второе уравнение:

\[ 6x + 5\left(\frac{3x + 29}{7}\right) = 13 \]

Шаг 3: Умножаем на 7 для устранения дробей:

\[ 42x + 5(3x + 29) = 91 \]

Шаг 4: Раскроем скобки:

\[ 42x + 15x + 145 = 91 \]

Шаг 5: Соберем все \( x \):

\[ 57x + 145 = 91 \]

Шаг 6: Переносим 145 на правую:

\[ 57x = -54 \\ x = -\frac{54}{57} = -\frac{18}{19} \]

Шаг 7: Теперь найдем \( y \):

\[ y = \frac{3\left(-\frac{18}{19}\right) + 29}{7} \]

Вычисляем:

\[ y = \frac{-\frac{54}{19} + \frac{551}{19}}{7} = \frac{\frac{497}{19}}{7} = \frac{497}{133} \]

Ответ: \( x = -\frac{18}{19}, \, y = \frac{497}{133} \)

---

д)

Система уравнений:

1. \( 3x + 7y = -5 \)
2. \( 5x + 4y = 7 \)

Шаг 1: Выразим \( 3x \):

\[ 3x = -5 - 7y \\ x = \frac{-5 - 7y}{3} \]

Шаг 2: Подставим это во второе уравнение:

\[ 5\left(\frac{-5 - 7y}{3}\right) + 4y = 7 \]

Шаг 3: Умножаем на 3:

\[ -25 - 35y + 12y = 21 \]

Шаг 4: Соберем все \( y \):

\[ -23y - 25 = 21 \]

Шаг 5: Переносим 25 на правую:

\[ -23y = 46 \\ y = -2 \]

Шаг 6: Находим \( x \):

\[ 3x + 7(-2) = -5 \\ 3x - 14 = -5 \\ 3x = 9 \\ x = 3 \]

Ответ: \( x = 3, \, y = -2 \)

---

Система В1

Система уравнений:

1. \( \frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{3} = 6 \)
2. \( \frac{x + y}{4} - \frac{x - y}{3} = 6 \)

Шаг 1: Умножаем на 12, чтобы избавиться от дробей:

\[ 12\left(\frac{x + y}{2}\right) + 12\left(\frac{x - y}{3}\right) = 72 \\ 6(x + y) + 4(x - y) = 72 \]

Шаг 2: Раскроем скобки:

\[ 6x + 6y + 4x - 4y = 72 \\ 10x + 2y = 72 \]

Шаг 3: Упростим:

\[ 5x + y = 36 \, (1) \]

Шаг 4: Аналогично со вторым уравнением:

\[ 12\left(\frac{x + y}{4}\right) - 12\left(\frac{x - y}{3}\right) = 72 \\ 3(x + y) - 4(x - y) = 72 \\ 3x + 3y - 4x + 4y = 72 \\ -x + 7y = 72 \, (2) \]

Шаг 5: Теперь имеем систему уравнений:

1. \( 5x + y = 36 \)
2. \( -x + 7y = 72 \)

Шаг 6: Из первого уравнения выразим \( y \):

\[ y = 36 - 5x \]

Шаг 7: Подставим во второе уравнение:

\[ -x + 7(36 - 5x) = 72 \\ -x + 252 - 35x = 72 \\ -36x + 252 = 72 \]

Шаг 8: Переносим 252 на правую:

\[ -36x = -180 \\ x = 5 \]

Шаг 9: Найдем \( y \):

\[ y = 36 - 5(5) = 11 \]

Ответ: \( x = 5, \, y = 11 \)

Если у вас есть ещё вопросы, не стесняйтесь обращаться!