Чтобы представить квадрат двучлена ((\frac{3}{4} - \frac{1}{8}u^7)^2) в виде многочлена, мы воспользуемся формулой квадрата разности:
[
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
]
Где:
- (a = \frac{3}{4})
- (b = \frac{1}{8}u^7)
Теперь найдем каждую часть этой формулы по отдельности:
Вычислим (a^2):
[
a^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}
]
Вычислим (b^2):
[
b^2 = \left(\frac{1}{8}u^7\right)^2 = \frac{1}{64}u^{14}
]
Вычислим (2ab):
[
2ab = 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{8}u^7 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}u^7 = \frac{3}{16}u^7
]
Теперь подставим все найденные значения в формулу для квадрата разности:
[
(\frac{3}{4} - \frac{1}{8}u^7)^2 = a^2 - 2ab + b^2
]
[
= \frac{9}{16} - \frac{3}{16}u^7 + \frac{1}{64}u^{14}
]
Теперь необходимо привести все члены к общему знаменателю, чтобы представить результат в виде многочлена. Наименьший общий знаменатель для дробей (\frac{9}{16}), (\frac{3}{16}u^7) и (\frac{1}{64}u^{14}) — это 64. Приведем все дроби к этому знаменателю:
- (\frac{9}{16} = \frac{9 \cdot 4}{16 \cdot 4} = \frac{36}{64})
- (\frac{3}{16}u^7 = \frac{3 \cdot 4}{16 \cdot 4}u^7 = \frac{12}{64}u^7)
- (\frac{1}{64}u^{14}) остается без изменений.
Теперь складываем все части:
[
\frac{36}{64} - \frac{12}{64}u^7 + \frac{1}{64}u^{14}
]
Объединим это в одну дробь:
[
\frac{36 - 12u^7 + u^{14}}{64}
]
Теперь можем записать результат в виде многочлена без дроби, обозначив его снаружи:
[
\frac{1}{64}(u^{14} - 12u^7 + 36)
]
Итак, в порядке убывания степеней одночленов, получаем:
[
\frac{1}{64}u^{14} - \frac{12}{64}u^7 + \frac{36}{64}
]
Возможно, этот многочлен можно оставить и в таком виде или привести постоянный коэффициент к более простому состоянию.
Ответ:
[
\boxed{\frac{1}{64}u^{14} - \frac{3}{16}u^7 + \frac{9}{16}}
]
