найдите дисперсию набора чисел 2 способами сравните результаты 13 22 19 21 25
Чтобы найти дисперсию набора чисел, мы можем использовать два подхода: через математическое ожидание и через выборочную дисперсию. Давайте рассмотрим оба метода, применив их к данному набору чисел: 13, 22, 19, 21, 25.
Шаг 1: Находим среднее (математическое ожидание)
Сначала найдем среднее значение:
\[ \text{Среднее} (M) = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5}{n} \]
где \( X_i \) — это наши значения, а \( n \) — количество значений. Подставим числа:
\[ X_1 = 13,\, X_2 = 22,\, X_3 = 19,\, X_4 = 21,\, X_5 = 25 \] \[ n = 5 \] \[ M = \frac{13 + 22 + 19 + 21 + 25}{5} = \frac{100}{5} = 20 \]
Шаг 2: Находим дисперсию через математическое ожидание
Теперь находим дисперсию (\( D \)) по формуле:
\[ D = \frac{(X_1 - M)^2 + (X_2 - M)^2 + (X_3 - M)^2 + (X_4 - M)^2 + (X_5 - M)^2}{n} \]
Подставляем в формулу:
- \( (X_1 - M)^2 = (13 - 20)^2 = (-7)^2 = 49 \)
- \( (X_2 - M)^2 = (22 - 20)^2 = (2)^2 = 4 \)
- \( (X_3 - M)^2 = (19 - 20)^2 = (-1)^2 = 1 \)
- \( (X_4 - M)^2 = (21 - 20)^2 = (1)^2 = 1 \)
- \( (X_5 - M)^2 = (25 - 20)^2 = (5)^2 = 25 \)
Теперь подставим эти значения в формулу дисперсии:
\[ D = \frac{49 + 4 + 1 + 1 + 25}{5} = \frac{80}{5} = 16 \]
Шаг 3: Находим выборочную дисперсию
Для выборочной дисперсии (\( D_n \)) используем формулу:
\[ D_n = \frac{(X_1 - M)^2 + (X_2 - M)^2 + (X_3 - M)^2 + (X_4 - M)^2 + (X_5 - M)^2}{n - 1} \]
Используем те же значения:
\[ D_n = \frac{49 + 4 + 1 + 1 + 25}{5 - 1} = \frac{80}{4} = 20 \]
Результаты:
- Дисперсия через математическое ожидание: \( D = 16 \)
- Выборочная дисперсия: \( D_n = 20 \)
Сравнение результатов:
- Обычная дисперсия (16) показывает среднее отклонение от математического ожидания для всего набора данных.
- Выборочная дисперсия (20) учитывает, что данные были получены из выборки, а не из всей совокупности, и поэтому имеет большее значение.
Таким образом, выборочная дисперсия всегда будет больше или равна вычисленной дисперсии для всей совокупности, поскольку она учитывает меньшее количество данных.
