Для решения задачи о расчете емкости конденсатора с тремя диэлектрическими пластинами, следуем пошагово.
Шаг 1: Понимание конструкции конденсатора
Конденсатор состоит из двух обкладок, между которыми расположены три диэлектрические пластины: стекло, слюда и парафин. Каждая из пластин имеет равную толщину ( d = 2 , \text{мм} = 0.002 , \text{м} ). Площадь обкладок и пластинок одинаковая и равна ( S = 200 , \text{см}^2 = 0.02 , \text{м}^2 ).
Шаг 2: Найти общую толщину диэлектриков
Общая толщина между обкладками:
[
d_{\text{total}} = d + d + d = 3d = 3 \times 0.002 , \text{м} = 0.006 , \text{м}
]
Шаг 3: Подсчет эквивалентной диэлектрической проницаемости
Каждая из диэлектрических пластин имеет свою диэлектрическую проницаемость:
- Для стекла ( E_1 = 7 )
- Для слюды ( E_2 = 6 )
- Для парафина ( E_3 = 2 )
Эти пластинки расположены последовательно, и эквивалентная диэлектрическая проницаемость ( E_{eq} ) конденсатора может быть найдена по формуле:
[
\frac{1}{E_{eq}} = \frac{d_1}{E_1} + \frac{d_2}{E_2} + \frac{d_3}{E_3}
]
Где ( d_1, d_2, d_3 ) - толщина каждой из пластин (по ( d = 0.002 , \text{м} )):
[
\frac{1}{E_{eq}} = \frac{0.002}{7} + \frac{0.002}{6} + \frac{0.002}{2}
]
Теперь, подставим значения:
[
\frac{1}{E_{eq}} = 0.002 \left( \frac{1}{7} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \right)
]
Первым делом найдем общее значение в скобках:
[
\frac{1}{7} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{12}{84} + \frac{14}{84} + \frac{42}{84} = \frac{68}{84} = \frac{34}{42} = \frac{17}{21}
]
Теперь подставим в формулу:
[
\frac{1}{E_{eq}} = 0.002 \cdot \frac{17}{21} = \frac{0.034}{21}
]
Теперь найдем ( E_{eq} ):
[
E_{eq} = \frac{21}{0.034} \approx 617.65
]
Шаг 4: Формула для нахождения емкости
Теперь мы можем использовать следующую формулу для вычисления емкости плоского конденсатора:
[
C = \frac{E_{eq} \cdot \varepsilon_0 \cdot S}{d_{\text{total}}}
]
Где:
- ( \varepsilon_0 ) — электрическая постоянная ( \approx 8.85 \cdot 10^{-12} , \text{Ф/м} )
- ( S ) — площадь
- ( d_{\text{total}} ) — общая толщина
Теперь подставим известные значения:
[
C = \frac{617.65 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \cdot 0.02}{0.006}
]
Теперь считаем:
[
C \approx \frac{617.65 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \cdot 0.02}{0.006} \approx 1.826 \cdot 10^{-10} , \text{Ф} = 182.6 , \text{пФ}
]
Ответ
Емкость конденсатора ( C \approx 182.6 , \text{пФ} ).
