Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Давайте разберёмся с задачей пошагово.
Шаг 1: Анализ задачи
Мы имеем квадратичную зависимость, которая представляется в виде: \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] где \( x \) — это ставка налога на продажу сапогов-скороходов, а \( f(x) \) — это сумма налоговых поступлений в бюджет.
У нас есть три точки, которые будут использоваться для определения коэффициентов квадратичной функции:
- При \( x_1 = 10 \% \), \( f(x_1) = 1.3 \) млрд фантиков.
- При \( x_2 = 33 \% \), \( f(x_2) = 1.3 \) млрд фантиков.
- При \( x_3 = 27 \% \), \( f(x_3) = 1.6 \) млрд фантиков.
Шаг 2: Подстановка значений в уравнение
У нас есть три уравнения для трёх неизвестных \( a \), \( b \), и \( c \):
- \( a(10)^2 + b(10) + c = 1.3 \)
- \( a(33)^2 + b(33) + c = 1.3 \)
- \( a(27)^2 + b(27) + c = 1.6 \)
Это система уравнений, которую необходимо решить.
Шаг 3: Записать систему уравнений
- \( 100a + 10b + c = 1.3 \)
- \( 1089a + 33b + c = 1.3 \)
- \( 729a + 27b + c = 1.6 \)
Шаг 4: Выразить \( c \) и подставить
Вычтем первое уравнение из второго и третьего, чтобы избавиться от \( c \).
Второе уравнение - Первое: \[ (1089a - 100a) + (33b - 10b) + (c - c) = 1.3 - 1.3 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad (1) \]
Третье уравнение - Первое: \[ (729a - 100a) + (27b - 10b) + (c - c) = 1.6 - 1.3 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad (2) \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2).
Шаг 5: Решение системы (1) и (2)
Из уравнения (1) выразим \( b \): \[ 23b = -989a \implies b = -\frac{989}{23} a \]
Подставим в (2): \[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \] Умножим всё на 23 для избавления от дробей: \[ 14467a - 16803a = 6.9 \] \[ -2336a = 6.9 \implies a = -\frac{6.9}{2336} \approx -0.00295 \]
Теперь подставим \( a \) назад для нахождения \( b \): \[ b = -\frac{989}{23}(-0.00295) \approx 0.134 \]
И теперь подставляем \( a \) и \( b \) в первое уравнение, чтобы найти \( c \): \[ 100(-0.00295) + 10(0.134) + c = 1.3 \] \[ -0.295 + 1.34 + c = 1.3 \implies c \approx 0.255 \]
Шаг 6: Полная функция
Теперь имеем: \[ f(x) = -0.00295x^2 + 0.134x + 0.255 \]
Шаг 7: Нахождение максимума
Максимум квадратичной функции \( ax^2 + bx + c \) достигается в точке: \[ x_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.134}{2 \times -0.00295} \approx 22.7 \]
Ответ
Таким образом, ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, составляет приблизительно 23%.
