Построй график функции y = 2 x ∣ x ∣ − 4 ∣ x ∣ + 2 x y=2x∣x∣−4∣x∣+2x . Определи, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно две общие точки. Если значений m m…

Чтобы разобраться с задачей, давайте шаг за шагом разобъем все необходимые части.

Шаг 1: Подготовка к построению графика функции

Функция задана как: \[ y = 2x |x| - 4 |x| + 2x \]

Чтобы упростить выражение, сначала разберем абсолютные величины \( |x| \):

1. Для \( x \geq 0 \): \[ |x| = x \] Тогда функция преобразуется в: \[ y = 2x^2 - 4x + 2x = 2x^2 - 2x \]

2. Для \( x < 0 \): \[ |x| = -x \] Тогда функция будет выглядеть так: \[ y = 2x(-x) - 4(-x) + 2x = -2x^2 + 4x + 2x = -2x^2 + 6x \]

Таким образом, функция \( y \) определяется как piecewise: \[ y = \begin{cases} 2x^2 - 2x & \text{для } x \geq 0 \\ -2x^2 + 6x & \text{для } x < 0 \end{cases} \]

Шаг 2: Построение графика функции

Теперь мы можем построить график этой функции.

• Для \( x \geq 0 \): это парабола (открытая вверх) с:

  • Вершина в точке, найденной по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \) для \( y = ax^2 + bx + c \): \[ x = -\frac{-2}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \]
  • Определим значение в этой точке: \[ y\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} \]
  • Пересечения с осью \( y \) (при \( x = 0 \)): \[ y(0) = 2 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 = 0 \]

• Для \( x < 0 \): это парабола (открытая вниз) с:

  • Вершина: \[ x = -\frac{6}{2 \cdot -2} = \frac{3}{2} \, \text{(хотя мы рассматриваем только } x < 0\text{)} \]
  • Определим значение: \[ y(0) = -2(0)^2 + 6(0) = 0 \]
  • Пересечения с осью \( y \) в точках, например, для \( x = -1 \): \[ y(-1) = -2(-1)^2 + 6(-1) = -2 - 6 = -8 \]

Шаг 3: Нахождение значений \( m \)

Теперь нужно найти такие значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) пересекает график функции ровно в двух точках.

Для этого рассмотрим две части:

1. \( 2x^2 - 2x = m \) для \( x \geq 0 \)
2. \( -2x^2 + 6x = m \) для \( x < 0 \)

1. Первая часть:

Уравнение: \[ 2x^2 - 2x - m = 0 \] Дискриминант: \[ D_1 = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-m) = 4 + 8m \]

Здесь у нас два решения, если \( D_1 > 0 \): \[ 4 + 8m > 0 \] \[ m > -\frac{1}{2} \]

2. Вторая часть:

Уравнение: \[ -2x^2 + 6x - m = 0 \] Дискриминант: \[ D_2 = (6)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-m) = 36 - 8m \]

Чтобы было ровно одно решение \( m \): \[ D_2 = 0 \] \[ 36 - 8m = 0 \] \[ m = 4.5 \]

Подводя итог:

• Для \( m < 4.5 \), будет два решения в области \( x < 0 \), и \( m > -\frac{1}{2} \).
• Для \( -0.5 < m < 4.5 \) двоичный пересечение с графиком.

Ответ

Значения \( m \): \[ -0.5 < m < 4.5 \] Поскольку нас интересуют значения с результатом в порядке возрастания, они будут: \[ -0.5, 4.5 \]

Финальный ответ: \[ -0.54.5 \]