Среди взрослых жителей города каждый четвёртый является клиентом банка АВС. Известно, что среди клиентов банка 45% женщины. Считая, что события «горожанин является клиентом банка АВС» и «горожанин – женщина» независимы, найдите вероятность того, что случайно выбранный мужчина из этого города не является клиентом банка АВС.
Для решения задачи начнем с анализа данных, которые у нас есть.
1. **Данные:**
- Каждый четвертый взрослый житель города является клиентом банка АВС, значит вероятность того, что случайно выбранный человек является клиентом банка, равна \( P(K) = \frac{1}{4} = 0.25 \).
- Среди клиентов банка 45% составляют женщины, значит вероятность того, что клиент является женщиной: \( P(W|K) = 0.45 \).
- Следовательно, вероятность того, что клиент банка является мужчиной, будет равна: \( P(M|K) = 1 - P(W|K) = 1 - 0.45 = 0.55 \).
2. **Независимость событий:**
Нам сказано, что события «горожанин является клиентом банка АВС» и «горожанин – женщина» независимы. Это означает, что вероятность выбрать женщину из всех горожан, которые не являются клиентами банка, будет равна вероятности выбрать женщину среди всех (независимо от того, являются ли они клиентами банка или нет).
3. **Считаем общие вероятности:**
Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранный мужчина не является клиентом банка АВС, нам нужно сначала выяснить общую вероятность того, что случайно выбранный человек является мужчиной и клиентом банка, а затем отнять это значение от вероятности мужчины.
Пусть \( P(M) \) – вероятность того, что случайно выбранный человек мужчина. Тогда из общей информации можно сказать, что среди всех горожан:
- \( P(K) = 0.25 \) (вероятность клиента банка),
- Общая вероятность \( P(M|K) \) (чтобы получить вероятность, что человек является мужчиной, учитывая, что он клиент):
\[
P(M \cap K) = P(K) \cdot P(M|K) = 0.25 \cdot 0.55 = 0.1375
\]
4. **Находим вероятность, что случайно выбранный мужчина не является клиентом банка**:
Для этого используем формулу для условной вероятности:
\[
P(NK|M) = 1 - P(K|M)
\]
Теперь найдем \(P(K|M)\) — вероятность того, что случайно выбранный человек является клиентом банка при условии, что он мужчина. Используем формулу Байеса:
\[
P(K|M) = \frac{P(M \cap K)}{P(M)}
\]
\(P(M)\) еще не найдена, давайте выразим ее. Поскольку \(P(K) = 0.25\) нам нужно знать, какая доля мужчин среди всех горожан. Предположим, что мужчин и женщин в городе поровну (что является достаточно обычным предположением).
Таким образом, если всего сенсорно:
\[
P(M) = 0.5
\]
Теперь, мы можем найти \(P(K|M)\):
\[
P(K|M) = \frac{0.1375}{0.50} = 0.275
\]
5. **Находим вероятность, что случайно выбранный мужчина не является клиентом банка**:
\[
P(NK|M) = 1 - P(K|M) = 1 - 0.275 = 0.725
\]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный мужчина из этого города не является клиентом банка АВС, равна **0.725 (или 72.5%)**.
