В коробке лежат 3 синих 2 зелёных и 5 красных шаров. Из коробки неудачу по очереди берут 2 шара. Какова вероятность того, что первым будет не красный, а вторым не зелёный шар

Для решения задачи о вероятности будем использовать базовые принципы комбинаторики. То, что мы имеем:

• 3 синих шара
• 2 зелёных шара
• 5 красных шаров

Итак, всего шаров в коробке:
\(3 + 2 + 5 = 10\) шаров.

Теперь мы должны вычислить вероятность того, что первым шаром будет не красный, а вторым шаром не зелёный.

Шаг 1: Найдем количество способов выбрать первый и второй шар.

Обозначим события:

• \(A\): Первый шар не красный.
• \(B\): Второй шар не зелёный.

Шаг 2: Найдем вероятность события \(A\).

Количество шаров, которые не красные:
\(3\) синих + \(2\) зелёных = \(5\).

Следовательно, вероятность \(P(A)\):
\[ P(A) = \frac{\text{количество не красных шаров}}{\text{общее количество шаров}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}. \]

Шаг 3: Теперь найдём вероятность для второго шара.

После того как мы извлекли первый шар, количество оставшихся шаров уменьшается на 1. Теперь рассмотрим два случая:

• Случай 1: Если первый шар был синим (не красным).

  • Останется: \(2\) синих + \(2\) зелёных + \(5\) красных = \(9\) шаров.
  • Шаров, которые не зелёные: \(2\) синих + \(5\) красных = \(7\).
  • Вероятность того, что второй шар не зелёный:
    \[ P(B|A) = \frac{7}{9}. \]

• Случай 2: Если первый шар был зелёным (не красным).

  • Останется: \(3\) синих + \(1\) зелёный + \(5\) красных = \(9\) шаров.
  • Шаров, которые не зелёные: \(3\) синих + \(5\) красных = \(8\).
  • Вероятность того, что второй шар не зелёный:
    \[ P(B|A) = \frac{8}{9}. \]

Теперь для нахождения полной вероятности события \(B\) мы используем закон полной вероятности:

Шаг 4: Найдём общую вероятность.

Общая вероятность будет равна: \[ P(A) \cdot P(B|A) = P(A \text{ и } B). \]

Теперь подставим значения:

• Вероятность первого шара (не красного) = \(P(A) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\).
• Для случая, когда первый шар синий: \[ P(B|A = \text{синий}) = \frac{7}{9}. \]
• Для случая, когда первый шар зелёный: \[ P(B|A = \text{зелёный}) = \frac{8}{9}. \]

Теперь необходимо найти общее значение:

• Вероятность того, что первый шар синий: \[ P(A = \text{синий}) = \frac{3}{5}, \]
• Вероятность того, что первый шар зелёный: \[ P(A = \text{зелёный}) = \frac{2}{5}. \]

Таким образом: \[ P(B) = P(A = \text{синий}) \cdot \frac{7}{9} + P(A = \text{зелёный}) \cdot \frac{8}{9} = \frac{3}{5} \cdot \frac{7}{9} + \frac{2}{5} \cdot \frac{8}{9}. \]

Теперь упрощаем вычисления: \[ P(B) = \frac{21}{45} + \frac{16}{45} = \frac{37}{45}. \]

Ответ: Вероятность того, что первым будет не красный шар, а вторым не зелёный шар, равна \(\frac{37}{45}\).