Задание 3. В дереве 100 вершин. Найдите среднее арифметическое степеней всех вершин этого дерева.

Чтобы найти среднее арифметическое степеней всех вершин в дереве, давайте рассмотрим несколько ключевых фактов о деревьях и их вершинах.

Шаг 1: Понимание дерева

Дерево - это связный граф без циклов. В дереве с \( n \) вершинами всегда \( n - 1 \) рёбер. В нашем случае \( n = 100 \), значит, в дереве 99 рёбер.

Шаг 2: Причины, почему степени важны

Степень вершины - это количество рёбер, соединённых с ней. Важно знать, что сумма степеней всех вершин в графе равна удвоенному числу рёбер. Проще говоря, если мы сложим степени всех вершин, мы учтем каждое ребро дважды, поскольку каждое ребро соединяет две вершины.

Шаг 3: Вычисление суммы степеней

Согласно вышеупомянутому принципу, сумма степеней всех вершин \( S \) в дереве с \( n \) вершинами можно выразить как: \[ S = 2 \cdot E \] где \( E \) - количество рёбер. Для нашего дерева: \[ E = 99 \] Таким образом: \[ S = 2 \cdot 99 = 198 \]

Шаг 4: Находим среднее арифметическое

Теперь, чтобы найти среднее арифметическое степеней вершин, делим сумму степеней \( S \) на количество вершин \( n \): \[ \text{Среднее арифметическое} = \frac{S}{n} = \frac{198}{100} = 1.98 \]

Ответ

Среднее арифметическое степеней всех вершин в данном дереве составляет 1.98.

Эти шаги показывают, как мы подошли к решению задачи, используя базовые свойства деревьев и связи между рёбрами и степенями вершин.