Виталий пригласил Глеба в гости, сказав, что живёт в шестом подъезде в к вартире № 279, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Глеб обнаружил, что дом восьмиэтажный. На каком этаже…

Чтобы определить, на каком этаже живёт Виталий, давайте разберёмся шаг за шагом.

1. Определим, сколько квартир на этаже:
   В доме восемь этажей, и предположим, что количество квартир одинаково на каждом этаже. Если Виталий живёт в квартире № 279 и квартира нумеруется с единицы, нужно найти, сколько квартир в доме всего.

2. Обозначим количество квартир на этаже буквой \( n \):
   Тогда общее количество квартир в доме можно выразить как \( 8n \) (то есть 8 этажей по \( n \) квартир на каждом).

3. Понять, какая квартира на каком этаже:
   Номера квартир распределяются следующим образом:

   • Этаж 1: квартиры с 1 по \( n \) (всего \( n \) квартир)
   • Этаж 2: квартиры с \( n+1 \) по \( 2n \)
   • Этаж 3: квартиры с \( 2n+1 \) по \( 3n \)
   • Этаж 4: квартиры с \( 3n+1 \) по \( 4n \)
   • Этаж 5: квартиры с \( 4n+1 \) по \( 5n \)
   • Этаж 6: квартиры с \( 5n+1 \) по \( 6n \)
   • Этаж 7: квартиры с \( 6n+1 \) по \( 7n \)
   • Этаж 8: квартиры с \( 7n+1 \) по \( 8n \)

4. Установим, где находится квартира № 279:
   Чтобы определить, на каком этаже находится квартира № 279, нам нужно найти такое \( n \), что: \[ 279 \leq 8n \] и \[ 279 > 7n \]

   Это значит, что: \[ \frac{279}{8} < n \leq \frac{279}{7} \]

   Рассчитаем: \[ \frac{279}{8} = 34.875 \quad (\text{округляем до 35, так как \( n \) должно быть целым}) \] \[ \frac{279}{7} = 39.857 \quad (\text{округляем до 39}) \]

   Таким образом, \( n \) может быть от 35 до 39.

5. Проверим возможные значения \( n \):

   • Если \( n = 35 \): квартиры до 280, значит, квартира № 279 будет на 8 этаже, так как она входит в диапазон квартир 246-280.
   • Если \( n = 36 \): квартиры до 288, значит, квартира № 279 будет на 8 этаже.
   • Если \( n = 37 \): квартиры до 296, значит, квартира № 279 будет на 8 этаже.
   • Если \( n = 38 \): квартиры до 304, значит, квартира № 279 будет на 8 этаже.
   • Если \( n = 39 \): квартиры до 312, значит, квартира № 279 будет на 8 этаже.

Во всех случаях, ошибка выбора \( n \) приводит к тому, что Виталий живёт на 8 этаже.

Ответ: Виталий живёт на 8 этаже.