периметр прямоугольника равен 14 какой может быть его наибольшая сторона если его площадь не больше 10
Чтобы решить задачу, давайте вспомним формулы для периметра и площади прямоугольника.
Периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон. Для прямоугольника это выражается формулой: \[ P = 2(a + b) \] где \(a\) и \(b\) — длины сторон прямоугольника.
Площадь прямоугольника — это произведение его длин: \[ S = a \cdot b \] где \(S\) — площадь.
В данном случае, нам дан периметр \(P = 14\) и условие, что площадь \(S \leq 10\).
Шаг 1: Найдем соотношение сторон с помощью периметра.
Поскольку \(P = 14\), подставим это в формулу периметра: \[ 2(a + b) = 14 \] Упростим это уравнение: \[ a + b = 7 \] Теперь мы можем выразить одну сторону через другую: \[ b = 7 - a \]
Шаг 2: Запишем условие для площади.
Теперь подставим \(b\) во вторую формулу (площадь): \[ S = a \cdot b = a \cdot (7 - a) \] Таким образом: \[ S = 7a - a^2 \]
Шаг 3: Найдем диапазон значений для \(a\).
Теперь нам нужно, чтобы площадь \(S\) не превышала 10: \[ 7a - a^2 \leq 10 \] Перепишем это уравнение в стандартной форме: \[ -a^2 + 7a - 10 \leq 0 \] Умножим на \(-1\) (при этом знак неравенства изменится): \[ a^2 - 7a + 10 \geq 0 \]
Шаг 4: Решим квадратное неравенство.
Теперь найдем корни уравнения \(a^2 - 7a + 10 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \] Корни уравнения находятся по формуле: \[ a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 3}{2} \] Таким образом, получаем: \[ a_1 = \frac{10}{2} = 5 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{4}{2} = 2 \]
Шаг 5: Решение квадратного неравенства.
Квадратное неравенство \(a^2 - 7a + 10 \geq 0\) имеет корни \(a = 2\) и \(a = 5\). Мы можем использовать тестовые точки, чтобы определить, где неравенство выполняется. Квадратная функция имеет вид ("U"-образная) и меняет знак на корнях.
Неравенство выполняется на интервалах: \[ (-\infty, 2] \quad \text{и} \quad [5, \infty) \]
Шаг 6: Найдем максимальную сторону.
Так как \(b = 7 - a\), то наименьший \(a\) соответствует наибольшему \(b\) и наоборот. Из интервалов \(a \leq 2\) и \(a \geq 5\):
- Если \(a = 2\), тогда \(b = 7 - 2 = 5\).
- Если \(a = 5\), тогда \(b = 7 - 5 = 2\).
Итог:
Наибольшая сторона \(S\) прямоугольника, при условии, что его площадь не превышает 10, равна 5.
